插值法，函数逼近实验报告..docx

实验项目名称：插值法与拟合实验目的：熟悉插值法与拟合的步骤，并用计算机实现实验内容：a.已知函数在下列各点的值为试用4次牛顿插值多项式P(x)及三次样条函数S（x)对数据进行插值，用图给出,P(x)及S（x）b. 在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙格函数；做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f(x)的图形。c. 下列数据点的插值X01491625364964Y012345678可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。用这9个点做8此多项式插值。用三次样条（第一边界条件）程序做S(x)。[0,64]从结果看在[0,64]上，哪个插值更精确，在区间[0,1]，两种插值哪个更精确？d. 有实验给出数据表x0.00.10.20.30.50.81.0y1.00.410.500.610.912.022.46试求3次，4次多项式的曲线拟合，再根据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。实验环境：matlab r2010b实验过程与分析：a一．实验原理N次牛顿插值多项式可表示为：三次样条函数的表达式为： 自然边界条件： 第一边界条件：二.源程序主函数：clcsyms x;p=Newton(X,Y);t1=0.2:0.01:1;y1=subs(p,x,t1);subplot(2,2,1)plot(t1,y1);title(牛顿插值);t2=[0.2 0.28 1 1.08];y2=subs(p,x,t2);subplot(2,2,2)plot(t2,y2,+);title(题中要求的点)subplot(2,2,3)q=spline2(X,Y,0,0);title(自然边界三次样条插值)subplot(2,2,4)plot(t1,y1);hold onplot(t2,y2,+);q=spline2(X,Y,0,0);title(在一个图中显示)hold offNewton插值子函数：function P=Newton(X,Y,t)if (size(X,2)~=size(Y,2))disp(d do not agree)else k=size(X,2);endsyms x ;P=Y(1,1);C=chashang(X,Y);fori=1:(k-1); a=1;for j=1:i a=a*(x-X(j));end P=P+C(1,i)*a;endifnargin==3 P=subs(P,x,t);else P=collect(P,x);endend求差商的子函数：function c=chashang(X,Y)k=size(X,2);c=zeros(1,(k-1));fori=1:(k-1) a=0;for i1=1:(i+1) b=1;for i2=[1:(i1-1),(i1+1):(i+1)] b=b*(X(1,i1)-X(1,i2));end a=a+Y(1,i1)/b;endc(1,i)=a;endend第二种求差商的子函数：function c=chashang(X,Y)k=size(X,2);c=zeros(1,(k-1));fori=1:(k-1) a=0;for i1=1:(i+1) b=1;for i2=[1:(i1-1),(i1+1):(i+1)] b=b*(X(1,i1)-X(1,i2));end a=a+Y(1,i1)/b;endc(1,i)=a;endend三次样条插值子函数(二阶导边界)：function S=spline2(X,Y,d2x1,d2xk)if(length(X)~=length(Y))disp(d do not agree)else k=length(X); A=diag(2*ones(1,k)); u=zeros(k-2,1); v=zeros(k-2,1); d=zeros(k,1); h=zeros(k-1,1);fori=1:(k-1)h(i)=X(i+1)-X(i);endfori=1:k-2u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));v(i)=1-u(i); d(i+1)=6*((Y(i+2)-Y(i+1))/h(i+1)-(Y(i+1)-Y(i))/h(i))/(h(i+1)+h(i));endfori=1:k-2A(i+1,i)=u(i);endfori=2:k-1A(i,i+1)=v(i-1);endd(1)=2*d2x1;d(k)=2*d2xk; M=A\d;syms x; S=[x];fori=1:k-1 s=M(i)*(X(i+1)-x)^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+M(i+1)*(x-X(i))^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+(Y(i)-M(i)*((X(i+1)-X