教学插件6动态规划与最优控制模型（2010-08-28武大研究生）..doc

最优控制模型 （管理、决策方面应用，因此可说管理决策模型） §1 最优控制的问题提法： §1.1最优控制问题举例 一、例，详见最优控制课听课笔记第一节； §1.2最优控制数学模型 最优控制模型问题的数学描述――最优控制模型。 寻找（开，闭）可以固定或自由，使得： 　　　　　　 　　　　　　 其中：　　，且（一阶连续可微），， ：向量值函数，且对连续，对连续可微。 上述最优控制的离散模型： 求 ， 使得 目标泛函: 达到最小。 而且满足： 状态方程: 最优控制问题的求解方法： 古典变分法：U开集； 极大值原理：U闭集；现代变分法，把古典变分法看作特例 动态规划：便于数值计算，并有通用算法； 　　　　　　　发展了变分法，结果是充分条件。 §2最优控制模型的动态规划解法 §2.1动态规划方法概述 §2.2生产——库存——销售管理系统的动态规划解法 §2.1动态规划方法概述 某一类管理问题的数学模型（状态方程）是一个差分方程： 状态方程: 目标泛函: 达到最小。 即: 此为一个阶决策问题： 动态规划法是求这一决策问题的有效办法，具有明显优点： （ⅰ）将一个阶决策问题转化为多次一步决策问题，即数学上的嵌入原理——将求一条极值曲线问题，嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题中； （ⅱ）大大简化了计算量； （ⅲ）具有局部优，就是整体优的最优性原理： 可广泛应用于运输系统、生产库存管理系统、生产计划制定及最优投资分配问题、最优价格制定问题。 下面以最短路问题举例说明这种方法 ： 一、最短路问题（最小时间问题） 1．问题：若有一辆汽车以城出发经过若干城市到达城，如图：，是一些可以通过的城镇。 ·P1 6 ·P2 1 ·P3 4 4 1 2 4 S · ·F 5 6 3 ·Q1 7 · Q2 2 ·Q3 图中两点间的数字：可以表示两城镇之间的距离（单位10公里），也可以表示行驶两城镇所用时间（应综合考虑：距离远近，路面好坏，是否拥挤等情况）。 于是：汽车从到可经多种途径选择到达。 问题是：从多种途径选择方案中，决定一种使到所走路线最短。或者若图中数字表示时间，则决定一种路径使从到所用时间最短。 2．方法： Ⅰ.决策树法（穷举法）： 决策树法是最容易想到的一种方法，但运算量很大——即把所有可能选择的路途所用的时间都求出来，然后取最小值，即有最优策略（最优决策）。 即： 因此有： 1 P3 4 F 15 P2 6 1 Q3 3 F 14 P1 6 2 P3 4 F 16 4 Q2 2 Q3 3 F 15 S 1 P3 4 F 14 5 P2 4 1 Q3 3 F 13 Q 1 7 2 P3 4 F 18 Q2 2 Q3 3 F 17 因此，最终得出： 困难：这样共有8条线路可选择，每条线路要作3次运算。 第1次：；第2次：； 第3次： 因此，共需24次运算：次，若阶段更多，则计算量更大。 II．“走一步瞧一步”（瞎子爬山？近视眼？）法： 第一步：从到或：显然 ，因此取决策； 第二步：从到或：显然 ，因此取均可，但从到 或距离为1，而到距离为2，因此，第