数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)..doc

第一章 绪论（12） 1、设，x的相对误差为，求的误差。 [解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为， 相对误差为。 2、设x的相对误差为2%，求的相对误差。 [解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为， 相对误差为。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： ，，，，。 [解]有5位有效数字；有2位有效数字；有4位有效数字；有5位有效数字；有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中均为第3题所给的数。 （1）； [解]； （2）； [解]； （3）。 [解]。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？ [解]由可知， ， 从而，故。 6、设，按递推公式计算到，若取（五位有效数字，）试问计算将有多大误差？ [解]令表示的近似值，，则，并且由 ，可知， ，即 ，从而， 而，所以。 7、求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字（） [解]由与（五位有效数字）可知， （五位有效数字）。 而，只有两位有效数字，不符合题意。 但是。 8、当N充分大时，怎样求？ [解]因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，，则，，从而 ， 因此。 9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1? [解]由可知，若要求，则，即边长应满足。 10、设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为， ，所以得证。 11、序列满足递推关系，若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ [解]设为的近似值，，则由与 可知，，，即 ， 从而，因此计算过程不稳定。 12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，，，。 [解]因为，所以对于， ，有一位有效数字； 对于， ，没有有效数字； 对于， ，有一位有效数字； 对于，，没有有效数字。 13、，求的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？ [解]因为（六位有效数字），，所以 ， 。 14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？ [解]精确解为。当使用三位数运算时，得到，结果可靠。 15、已知三角形面积，其中c为弧度，，且测量a，b，c的误差分别为，证明面积的误差满足。 [解]因为， 所以。 第二章 插值法（40-42） 1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令 ，证明是n次多项式，它的根是，且。 [证明]由可得求证。 2、当时，，求的二次插值多项式。 [解]。 3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，， 则，，则 ， 从而。 若取，，，则， ，，则 ， 从而。 4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。 [解]设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，，，近似线性插值多项式为，所以总误差为 ，从而 。 5、设，求。 [解]。 令，则 ，从而极值点可能为 ，又因为 ， ， 显然，所以 。 6、设为互异节点，求证： 1）； 2）； [解]1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。 2）设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。 7、设且，求证。 [解]见补充题3，其中取即得。 8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？ [解]由题意可知，设x使用节点，，进行二次插值，则插值余项为， 令，则，从而的极值点为，故，而 ，要使其不超过，则有 ，即。 9、若，求及。 [解]。 。 10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正整数）。 [证明]对k使用数学归纳法可证。 11、证明。 [证明]。 12、证明。 [证明]因为 ，故得证。 13、证明：。 [证明]。 14、若有n个不同实根，证明 。 [证明]由题意可设，故 ，再由差商的性质1和3可知： ，从而得证。 15、证明n阶均差有下列性质： 1）若，则； 2）若，则。 [证明]1）。 2）。 16、，求，。 [解]，。 17、证明两点三次埃尔米特插值余项是 ， 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。 [解]见P30与P33，误差限为。 18、XXXXXXXXXX． 19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 [解]设，则，再由，，可得： 解得。从而 。 20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并