数学分析中求极限的重要方法..doc

数学分析中求极限的重要方法 摘 要：极限一直是数学分析中的一个重点内容,是数学分析的基础,数学分析中的基本概念都可以用极限来描述.如导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具,是贯穿数学分析的一条主线.而对极限的求法可谓是多种多样.本文主要归纳了数学分析中求极限的几种重要方法.在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文就关于求极限的重要方法作一个比较全面的概括,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益. 关键词：洛必达法则；中值定理；定积分；泰勒公式 引言 在数学分析中极限的求法不拘一格,各种各样.归纳法,演绎法,比较法等多种方法都可以用于极限的求解过程中.在数学分析中求极限的方法虽然比较繁多但是却不集中,本文根据所学知识探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路.这些方法虽不能适用于所有极限的求解但仍然具有一定代表性. 文献[4][9]为本文提供了大量的理论依据.文献[1][2]主要讨论了极限的求解方法.文献[3]主要讨论运用泰勒公式求极限.文献[5][6][7]从例题的角度分析总结求极限的方法.文献[10]就如何正确运用洛必达法则进行了分析. 本文在综合了大量文献和资料的基础上,以数学分析中的理论为基础,对一些比较重要的方法进行系统的归纳和总结.求极限的方法灵活多样,本文只对一些常见的极限的求解进行了概括和归纳并大致总结了以下几种重要方法：利用迫敛性求极限,利用变量变换法求极限,利用四则运算性质求极限,利用两个重要公式求极限,利用洛必达法则求极限,利用中值定理求极限等等.相信只要掌握了本文总结的方法,那么对于常见极限的求解一定会事半功倍.极限是数学分析的基础因而掌握极限的求解对于今后课程的学习也具有非常重要的意义. 1.利用迫敛性求极限 1.1利用迫敛性求数列极限 若存在正整数当时,有且, 则 . 例1 求. 解 对任意正整数,显然有 , 而,,由迫敛性定理得 . 1.2利用迫敛性求一元函数极限 设且在某内有 则 . 例2 求. 解 因为 且. 由迫敛性得 . 1.3利用迫敛性求二元函数极限 设且在的邻域对一切 都有 , 则 . 例3 求. 解 因为 ,, 由迫敛性定理得 . 2.利用变量替换法求极限 2.1利用变量替换法求数列极限 例4 设.求. 解 令 则 . 由此反复过程知 于是 . 2.2利用变量替换法求一元函数极限 例5 求. 解 令 则 . 2.3利用变量替换法求二元函数极限 例6 求（为一个确定的自然数）. 解 令,则 当时, . 3.利用四则运算性质求极限 3.1利用四则运算性质求数列极限 若那么 .　 .　 . 例7 求. 解 . 3.2利用四则运算性质求一元函数极限 若极限和都存在,则函数, 当时极限也存在且 . . 又若则在时极限也存在,且有 . 例8 求. 解 . 3.3利用四则运算性质求二元函数极限 若,.则 ; ; . 例9 求. 解 因为 所以 . 4.利用两个重要极限公式求极限 4.1利用两个重要极限求一元函数极限 利用.它的扩展形式为 . 其中也可以是. 利用.它的扩展形式为 . 例10 求. 解 =. . 例11 求. 解 . 4.2利用两个重要极限求二元函数极限 . . 它们分别是一元函数两个重要极限的推广. 例12 求. 解 . 例13 求. 解 而 故 原式. 5.利用单调有界准则求极限 单调有界数列必有极限,而且极限唯一.用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的极限存在,然后根据数列的通项递推公式求极限. 例14 证明下列数列的极限存在,并求极限. . 证明 从这个数列构造来看显然是单调递增的,用归纳法可证. 又因为 . 所以 . 因为前面证明是单调递增的.两端除以得 . 因为则, 从而可得 . 即是有界的.根据单调有界定理有极限,而且极限唯一. 令 则 . 即. 因为解方程得 , 所以 . 6.利用洛必达法则求极限 在前面的叙述中,我们已