数学实验中的线性代数..doc

实验 4 线性代数方法 本实验的目的是：利用MATLAB软件的可视化功能，形象表达线性代数方法的几个基本概念和常用方法的内涵。线性方程组及其解的几何含义，矩阵的特征根和特征向量的形象表示，矩阵作用的形象表达，实二次型标准化的形象表达。 4.1. 向量、直线和平面 4.1.0. 向量和直线 例1 向量是线性代数和几何最基本的概念之一。在几何中的向量一般是自由向量，而线性代数中的向量是定点向量。简单言之，自由向量一般有一个起点和一个终点，而定点向量的起点是固定的，即原点，终点不同就决定了不同的定点向量。直线是有一个向量的一切伸缩倍数生成的，也可以看成平面的交线。 4.1.0.0. 向量 在右图中，三个从原点出发的向量都是定点向量，而起点在A向量的终点，终点在B向量的终点的向量就是一个自由向量，与这个自由向量对应的唯一一个定点向量就是粗体大写字母C表示的起点在原点的向量。 利用向量这个概念，平面上的一条直线可以有如下的向量方程形式： 其中r是直线上任意一点对应的定点向量。具体实例是，平面直线： 的向量方程是： 它的直观表示的MATLAB代码是：（MATLAB文件名是ran4_1_0_0.m） clear x=-10:0.5:10; y=(15-3*x)/2; plot(x,y) axis(axis); %axis off hold on Hl_line=plot([0],[0]); set(Hl_line,LineWidth,6,Color,[0 0 0]); text(0,0, Origin(0,0) ) pause Hl_line=plot([0 x(11)],[0 y(11)]); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,[0 0 0]); Hl_line=plot([x(11)],[y(11)]); set(Hl_line,LineWidth,6,Color,[0 0 0]); text(-5,15, Vecter(-5,15) ) pause Hl_line=plot([x(11) x(31)],[y(11) y(31)]); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,[1 0 0]); Hl_line=plot([x(31)],[y(31)]); set(Hl_line,LineWidth,6,Color,[0 0 0]); text(5,0, Vecter(5,0) ) text(1,20,平面中的向量,Fontsize,15, Color,[1 0 0]) text(1,15,定点向量和自由向量, Fontsize,15,Color,[1 0 0]) 4.1.0.1. 向量与直线 利用定点向量和自由向量的概念可以和平面直线方程统一地表达3维空间直线的方程以及任意维数空间中的直线方程： 其中A、B和r都是三维或更高维数的三个向量，A和B是两个固定的向量，而r是直线上的任意向量。 例2 3维空间中的一条直线 是两个平面的交线，其向量方程是： 其中是任何实数，r是终点在直线上任意点的定点向量。它的直观显示的MATLAB代码是：（MATLAB文件名是ran4_1_0_1.m） clear b=[1 2 3]; x=-10:0.5:10; y=-10:0.5:10; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z1=(b(1)-13*X-Y)/(-2); Z2=(b(2)-X-13*Y)/(-2); mesh(X,Y,Z1) hidden off %axis([-10 10 -10 10 -100 100]); axis(axis); %axis off M( : ,1)=getframe; pause hold on mesh(X,Y,Z2) hidden off M( : ,2)=getframe; pause x12=b(1)/12-b(2)/12+y; z12=b(1)/24-b(2)*13/24+7*y; Hl_line=plot3(x12,y,z12); set(Hl_line,LineWidth,2,Color,[1 0 0]); M( : ,3)=getframe; pause Hl_line=plot3([0 x12(21)],[0 y(21)],[0 z12(21)]); set(Hl_line,LineWidth,4,Color,[0 0 0]); M( : ,4)=getframe; pause Hl_line=plot3([x12(21) x12(31)],[y(21) y(31)], [z12(21) z12(31)]); set(Hl_line,LineWidth,4,Color,[0 0 0]