数学建模与最优化技术..doc

《数学建模与最优化技术》读书笔记 赵金玲 学号：200920373 硕2010级6班 本书是由董文永主编，清华大学出版社出版。该书主要分为五部分：数学建模与最优化的背景、数学建摸的基本概念与分类、数学建模举例、最优化的基本概念与分类、数学建摸与最优化的关系。通过阅读本书，我主要有以下收获。 1 数学建模与最优化的背景 1.1 数学建模的历史与意义 数学建模的历史和数学的历史基本上是一样的，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，古印度几何学的起源则与宗教密切相关，中国的《周批算经》是讨论天文学测量的巨著。 大约公元前５世纪，毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植物生长等均属于数学建模的范畴；19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问。可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。 1.2 最优化的历史与意义 最优化问题有相当长的发展历史，最早可以追溯到牛顿、拉格朗日时代，由于牛顿等对微积分的重要贡献，才使得差分方程法解决最优化问题成为可能，这其中的先锋者包括贝诺利(Bemot)，欧拉(Eller)和拉格郎日等。20世纪50年代出现了高速计算机，最优化的发展进入旺盛期，出现了大量的新算法。Dantzig提出了解决线性规划问题的simplex方法；Bellman提出了动态规划最优化最优性原理，使得约束最优化成为可能性；Kuhn和Tucher提出的最优化规划问题的充分和必要条件开创了非线性规划优化技术的基础。构成现代优化理论的相关技术是模拟退火SA、遗传算法GA、蚁群算法、禁忌有哪些信誉好的足球投注网站、神经网络、EDA、CMA-ES等现代启发式最优化算法，他们均是从60年代发展起来的，这些算法的产生同样来源于建模。 2 数学建摸的基本概念与分类 2.1 模式、模型、原型、数学模型的定义 模式通常指事物或现象的标准形式，可以简单理解为模样，式样或形式。模型是指为了特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过加工、精华、提炼而成的原型替代物。模式、模型与数学模型之间的包含关系为：模式＞模型＞数学模型，模型相对而言是模式的具体化（实物或表示形式）。 所谓数学模型是指对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立的符号系统。广义上讲，数学模型是指凡是以响应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等等都叫数学模型；狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。本书所指数学模型是指狭义的数学模型，即仅限于解决具体的实际问题。 2.2 数学模型的分类 按照人们对原型的认识过程来分，数学模型可分为描述性数学模型和解释性数学模型。描述性数学模型即采用归纳法，从特殊到一般，从分析具体事物归纳出描述事物的数学模型的方法。解释性数学模型即采用演绎法，从一般到特殊，从一般的公理系统出发，借助于数序推理的方法给出公理系统正确解释的一种数学建模方法。 按照模型的应用领域可分为：人口模型、交通模型、生态模型、传染模型、系统模型等。 按照建立数学模型的方法可分为：微分方程模型、差分方程模型、随机模型、组合最优化模型、层次模型、最优控制模型、图论模型、规划模型等。 按照人们对系统了解程度，可分为白箱模型、灰色系统模型、黑箱模型等。白箱模型即对系统相当的了解，利用系统的机理方程建立起来的数学模型，例如：模拟流体的流动、汽车外形的设计等，还包括我们众所周知的牛顿力学、分子生物学。黑箱模型是指对系统并不了解，利用实验数据来建立系统的输入与输出之间的响应模型（逼近模型、拟合模型），是原始系统的等价模型，例如当年的开普勒三定律，就是通过观察得到的实验数据进而形成了对应的数学模型，经长期验证变成了定律。灰色系统模型是介于白箱模型和黑箱模型之间的模型，例如社会学系统、生态系统、环境系统等。一般而言，对于白箱模型采用机理建模，对于黑箱模型采用统计建模，灰色系统可以将两种方法结合在一起。 3 数学建模的方法和步骤 3.1 数学建模的基本方法 （1）机理分析法：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。 （2）测试分析法：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。 （3）二者结合：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。 3.2 数学建模的步骤 （1）表述：根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题。 （2）求解：选择适当的数学方法求得数学模型