数学建模铲雪机工作的微分方程模型..doc

铲雪机工作的微分方程模型 摘要 本文是关于冬天一台铲雪机工作的数学模型，针对2种模型进行分析求解，模型Ⅰ:假设降雪速度始终随着时间的变化而均匀减小，即降雪速度也是匀减速的；模型Ⅱ：降雪速度开始最大，并且以这个速度保持一段时间，设该过程为降雪总时间的一半，而降雪的后一半时间降雪速度是匀减速的，模型Ⅱ是对模型Ⅰ的改进，但求解方法相同。通过建立微分方程模型进行求解，得到关于铲雪机无法进行工作时的降雪强度达到的值。 关键字一问题提出，问题分析长的一条公路上的积雪。一般当公路面积雪达时，铲雪机就开始工作。如果开始铲雪后降雪仍然继续。随着路面积雪的加厚，铲雪机工作的速度将逐渐降低。当积雪过深时铲雪机将不能行动，被迫中止工作。 显然降雪的大小直接影响着铲雪机的工作。那么，在雪天，铲雪机是否能顺利完成长的路面的除雪工作？当降雪多大时铲雪机将无法继续进行工作？ 我们可以了解到的情况和有关数据如下： （1）铲雪机开始工作后降雪开始持续一个小时。 （2）降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量是。 （3）积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作。 （4）铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是。 在铲雪机清除长公路上的积雪过程中，可能会由于降雪过大使得一部分公路上的积雪厚度达到，这样铲雪机就无法进行工作，因此降雪的大小直接影响着铲雪机的工作，铲雪机是否能顺利完成长的路面的除雪工作，取决于降雪速度的大小；由于随着路面积雪的加厚，铲雪机工作的速度将逐渐降低，积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作，因此存在一个降雪量（主要指路面积雪厚度）的平衡点，当降雪量达到这个平衡点时，铲雪机将无法继续进行工作。 二问题的假设: 1．铲雪机一次性能将路面上的积雪清楚干净，即铲雪机的铲雪工作 宽度和路面宽度相同； 2．铲雪机工作过程中不出现其他故障（除了由于积雪过厚而无法进行正常工作）。 3. 铲雪机工作速度始终随着积雪厚度的增加均匀减小，即铲雪机工作速度是匀减速的。 4. 降雪速度(单位时间内降雪厚度)随时间变化，作模型假设： 模型Ⅰ:假设降雪速度始终随着时间的变化而均匀减小，即降雪速度 也是匀减速的（开始时降雪速度，从R开始减少到0）。 三符号说明：降雪速度（单位时间内降雪厚度），单位：； ：铲雪机工作速度，单位：； ：下雪时间，从开始下雪算起，单位：； ：共计下雪时间，单位：； ：铲雪机已工作的路面长度，单位； ：公路积雪厚度，单位； ，表示积雪厚度达到时铲雪机将开始进行工作 ，表示积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作； ，表示公路长； ，表示铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是； ，降雪速度最大时值是； ， ，均为常数，模型中用到的系数。 四、模形的建立与时间的关系： ，其中为常数； 路面积雪厚度是时间的函数，并且有； 2．由假设3，我们可以得到铲雪机工作速度与积雪厚度的关系： ，其中为常数。铲雪机已工作路面长度是时间的函 数，并且有。 五模形的求解，而在积雪厚度达到时铲雪机将无法进行工作，可以认为铲雪机无法工作时铲雪机的工作速度为.即当=D时，=0，由，可以确定出常数k，k=。 对于铲雪机是否能顺利完成长的路面的除雪工作，当降雪多 大时铲雪机将无法继续进行工作，这2个问题由问题分析可知，取决于降雪量，降雪量（主要指路面积雪厚度）主要由降雪速度和降雪时间决定，但如果模型中的参数确定了，则降雪速度和降雪时间就可以确定，因此降雪量由模型中的参数确定。为此我们把参数定义为降雪量的强度系数。但要注意并不一定强度系数越大，降雪量越强。要得到降雪量的平衡点，即要求强度系数的平衡点。 我们用Matlab编写程序对建立的微分方程进行求解，对积分得h=1/10*t-1/2*a1*t^2。铲雪机工作速度vm=vm0-k*h=10-1/150*t+1/30*a1*t^2，要注意铲学机是从积雪厚度为d=50时开始工作的，当h=d时铲雪机开始工作,此时的时间为 t0 = 1/10/a1*(1+(1-10000*a1)^(1/2))或1/10/a1*(1-(1-10000*a1)^(1/2)) 这里有2个值，为什么会有2个值呢，我们作积雪厚度h与时间t的关系图，为此我们作在a1=0.001情况下的图像，如下图（见附录1（1）），发现h随着t的增大呈现先增大后减小的趋势，其实，，当t=R/a1时vs=0,降雪已停止，当tR/a1，仍然有vs=0,而不是负值，所以图像在t=R/a1时（实线）有效，在tR/a1时（虚线）无效。因此对上述的t1的两个值,我们应取较小的一个值，即t0=1/10/a1*(1-(1-10000*a1)^(1/2)) 对积分,积分区间是t0到t,得到铲雪机工作的路面长度S =10*t-1/a1*(1-(1-10000*a1)^(1/2))-1/300*t^2+1/30000