数学建模简明教程（袁震东蒋鲁敏束金龙编着）..doc

第一章 引论 数学建模的内涵和外延 在现实生活中，“模型”这个名词并不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、“生物模型”等。“原型”和“模型”是一对对偶体。 原型：是指人们在现实世界里研究或从事生产、管理的实际对象。 模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。需要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问题，我们看下面的例子。 例1 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水速各为多少？ 分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假设之下，我们可以得出问题的解。 求解：设水的流速为，船的行驶速度为， 则当船只顺水航行时，有 ， 当船只逆水航行时，有 ， 即有方程组 上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。 数学模型的一般意义：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据其特有的内在规律，作出一些必要的假设，并运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 建立数学模型的过程就称为数学建模。 §2 数学建模的重要意义 一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之地。 二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少的工具。 三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。 四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。 §3数学模型和建模方法的分类 一、数学模型不同的分类 数学模型按不同的分类标准可作如下分类： 第一，按模型的应用领域不同可分为人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、城市规划模型、生产过程模型等。 第二，按建立模型所采用的方法分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。 第三，按模型的特性分，有确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续模型等。 第四，按模型的目的分为描述模型、仿真模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。对同一个对象由于不同的建模目的可以有不同的模型。 第五，按照对模型结构和参数的了解程度可分为三种模型：模型的结构和参数都是已知的，称为白箱模型；只知其结构，参数未知的称为灰箱模型；结构和参数均未知的模型称为黑箱模型。 二、数学建模的两类方法 第一，利用物理、化学、生物学、经济学、社会学原理建立的数学模型的方法称为机理建模方法。例如利用牛顿运动定律建立系统的运动方程。 第二，直接利用观察数据，根据一定的优良性准则在模型集中找出数据拟合得最好的模型。当模型是动力学方程时，这种方法称为系统辨识。这种方法常用在过程控制模型中。 §4数学建模的一般步骤 一、数学建模的基本方法： 机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。 测试分析：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。 二者结合：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。 二、数学建模的一般步骤： 数学建模的全过程： 表述：根据建模的目的和对象的信息将实际问题“翻译”成数学问题； 求解：选择适当的数学方法求得数学模型的“解答”； 解释：将数学语言表述的解答“翻译”回实际问题； 验证：用现实对象的信息检验得到的解答。 三、简单数学模型举例 例1 一个星级旅馆有150个客房。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：如果每间客房定价160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入最高，问每间客房的定价应是多少？ 经分析，为建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设： 假设一，在无其他信息时，不妨设每间客房的最高定价为160元； 假设二，根据经理提供的信息，设随着房价的下降，住房率呈线性增长； 假设三，设旅馆每间客房定价相等。 建立模型 根据题意，设表示旅馆一天的总收入，为与160元相比降低的房价。 由假设2，可得每降低1元房价，住房率增加为， 因此 ， ① 由可得，，于是问题转化为： 当时，求的最大值点，即求解 ， 解模型 ①式两边同时除以得， ， （常数因子不影响最值性，因此最值点和的最值点相同） 易知，当时，取到最大值，此