数学教案讲义二次函数与命题..doc

第二章 二次函数与命题 一、基础知识w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。 2 二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，情况相反。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3．当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c0…②及ax2+bx+c0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。 1）当△0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|xx1或xx2}和{x|x1xx2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。 3）当△0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。 当a0时，请读者自己分析。 4．二次函数的最值：若a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。 定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p则q否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 2．方程的思想。 例2 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 3．利用二次函数的性质。 例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0x1x2, （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：xf(x)x1； （Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0 5．构造二次函数解题。 例5 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。 例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。 例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。 7.一元二次不等式问题的解法。 例8 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 8．充分性与必要性。 例9 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等