数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)..doc

数学物理方程第二版答案 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为 且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为 其中表示方向与轴的夹角 又 于是得运动方程 ∣∣ 利用微分中值定理，消去，再令得 。 5. 验证 在锥0中都满足波动方程 证：函数在锥0内对变量有 二阶连续偏导数。且 同理 所以 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x） 令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0) 所以 F(x)=-G(0). G（x）=-F(0). 且 F（0）+G(0)= 所以 u(x,t)=+- 即为古尔沙问题的解。 8．求解波动方程的初值问题 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 = = = = 即 为所求的解。 ? §3混合问题的分离变量法 用分离变量法求下列问题的解： (1) 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 得固有函数，且 ， 于是 今由始值确定常数及，由始值得 所以 当 因此所求解为 (2) 解：边界条件齐次的，令 得： (1) 及 。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 时，方程的通解为 由得 由得 解以上方程组，得，，故时得不到非零解。 时，方程的通解为 由边值得，再由得，仍得不到非零解。 时，方程的通解为 由得，再由得 为了使，必须 ，于是 且相应地得到 将代入方程(2)，解得 于是 再由始值得 容易验证构成区间上的正交函数系： 利用正交性，得 所以 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足 ， 令代入原定解问题，则满足 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为， 故设 将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得 其中 其中 将(2)代入问题(1)，得满足 解方程，得通解 由始值，得 所以 因此所求解为 3．用分离变量法求下面问题的解 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 设 将非次项按展开级数，得 其中 将 代入原定解问题，得满足 方程的通解为 由，得： 由，得 所以 所求解为 §4 高维波动方程的柯西问题 利用泊松公式求解波动方程 的柯西问题 解：泊松公式