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教 学 案 例（一） 一节未按教学设计完成的课 （正弦定理） 汾西一中 刘 惠 文 正弦定理教学案例 汾西一中 刘惠文 一、背景介绍 结合新课标课改的精神和我校“以人为本”的教育理念的指导，高中数学教学不仅仅局限于接受、记忆、模仿和练习，更应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。 2013年4月29日上午第一节在高二227班（重点班）讲的示范课，正弦定理第一课时。本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。本节教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 1、设计思想 根据实际教学处理，本节课采用探究式课堂教学模式，辅以讨论法以及多媒体演示法。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容。分为三个阶段：第一阶段教师通过引导学生学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二阶段由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中；边角的关系的验证，通过“作高法”、 “向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三阶段利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 2、学情分析 对普通高一的学生来说，在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、全等三角形等与三角形有关的基础知识；同时在必修4 ，学生也学习了三角函数、向量三角恒等变换以及平面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。 但学生对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度。而且学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，教学中以讨论法（师生对话、生生讨论）为主，以发现法、类比法、接受法、练习法为辅。 3、出现状况 讲课中，第一阶段的引导、、猜想顺利完成，第二阶段由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中；边角的关系的验证，通过“作高法”、 “向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，也完成了 。本来一句“大家还有其他的证明方法吗？” 再来一句“还有很多，有兴趣的同学下去试一试。”就往下讲第三阶段了，但是…… 二、教学片段 上面我们结合实例，引出正弦定理的构造==，是否任意三角形都有这种边角关系呢？ 1、探索发现猜想 老师：我们先通过特殊例子检验==是否成立，举出特例，给学生指明一个方向。 如图一的第一个图中，在ΔABC中，∠A=∠B=∠C=60o，对应的边长a：b：c=1，对应角的正弦值分别为，，；引导学生考察，，的关系 学生1：:它们相等，都是 如图一的第二个图中，在ΔABC中，∠A=∠B=45o，∠C=90o，对应的边长a=b=1，c=，对应角的正弦值分别为，，1； 学生2：:它们相等，都是 如图一的第三个图中，在 ΔABC中，∠A，∠B，∠C分别为30o，60o，90o，对应的边长a=1，b=，c=2，对应角的正弦值分别为，，1； 学生3：:它们相等，都是2 老师：下面我们考虑任意的Rt△ABC，结论如何？ 学生4：思考交流得出，如图2，在RtΔABC中， 设BC=a,AC=b,AB=c, 则有sinA=, sinB=,又sinC=1=, 则===c 从而在直角三角形ABC中，== 老师：更进一步，对于任意三角形是否有==呢？ 学生按事先安排分组，让学生阅读，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算。） 学生：分组互动，每组画一个三角形，席量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。 老师：放映利用《几何画板》制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化， 比值：，，的值都会相等。 我们猜想：== 设计意图：让学生体验