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第六章 定　积　分 基 本 要 求 一、理解定积分的概念和基本性质，了解积分中值定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。 二、理解变上限积分定义的函数，并会求它的导数。 三、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用题。 四、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。 习 题 六 利用定积分的几何意义及其性质计算下列定积分。  （1）. 解： 如上图：原式.其中 ∴原式 （2）  解： 如上图：原式.其中 ∴原式 2、计算下列函数的导数： （1）； 解： （2）； 解： （3）； 解： （4）. 解; 3、求下列极限： (1) 解：原式 (2) 解：原式 4、求函数的极值。 解：函数定义域为 令 得驻点为，无不可导点 当 时，；当 时， 所以，当时， 5、计算下列定积分： (1)； 解：原式 (2) ； 解：原式 (3) ； 解：令， ∴原式 (4) 已知，求。 解：原式 = 6、计算下列定积分： （1）； （2）； 解：原式 （3）； 解：原式 （4）； 解：令，则是奇函数，且该积分为对称区间上的积分 ∴原式 （5）； 解：原式 （6）； 解：原式 （7）； 解：原式 （8）； 解：令，则 原式= = （9）； 　解：原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ （10）； 解：原式 7、用阴影表示下列曲线所围成的图形，并求出其面积： (1)； 解：曲线交点如右图所示 (2) ； 解：曲线交点如(3)图所示 (3)； 解：曲线交点如(3)图所示 (4). 解：曲线交点如(4)图所示 8、求曲线在两个极值点范围内的曲线弧段，过两个极值点与轴垂直的直线及轴所围成的平面图形的面积. 解：令得驻点 又∵ ∴ ∴为极大值点，为极小值点. 如右图得. 9、求由下列曲线所围图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积： ；绕轴； 解：所谓图形见(1)图阴影部分 （2）；绕轴； 解：所谓图形见(3)图阴影部分 11、已知某产品的边际成本，固定成本万元，其中为产品的件数，求生产2000件这种产品的总成本为多少万元？ 解：∵ ∴生产2000件这种产品的总成本为:（万元） 12、已知某产品生产个单位时，总收益的变化率（边际收益）为 求生产了50个单位时的总收益； 如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益. 解：∵ ∴ （1）∴ （2）设已生产了100个单位，在生产100个单位时的总收益为. ∴ 13、某产品的总成本（万元）的变化率（边际成本），总收益（万元）的变化率（边际收益）为生产量（百台）的函数. 求生产量等于多少时，总利润为最大？ 从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？ 解：(1) 因为 所以 令 得 因为是唯一驻点，且由实际问题知有最大值， 所以 当产量为 4 (百台)时，总利润最大。 (2) 当在百台基础上多生产1百台时，总利润改变 即从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了0.5万元。 14、判断下列广义积分的敛散性，如收敛，则求其值. (1)； 解：原式 ∴该积分收敛. (2)； 解：原式 ∴该积分收敛. (3)； 解：原式 ∴该积分收敛. (4)； 解：原式 ∴该积分发散. 第六章 单 元 测 验 题 1、填空题： （1）设，则 2 ； （2）若，则； （3）设，则= 3 ； （4）曲线与直线所围成平面图形的面积为，则； （5） 发散 。 2、求，其中是到离它最近的整数的距离。 解：原式= = = 3、计算下列积分. （1）； 解：原式 （2）； 解：原式 （3）； 解：原式 （4）； 解：原式 4、过曲线上某点作一切线，使之与曲线及轴围成图形的面积为，求 （1）切点的坐标； （2）过切点的切线方程； （3）由上述图形绕轴旋转成的旋转体体积. 解：（1）设切点的坐标为 ∴