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第七章 相关与回归分析 第一节 相关分析的意义和种类 一、相关分析的概念 现象之间的相互关系可以分为两种不同的类型： （一）函数关系 它反映现象之间存在着严格的依存关系，在这种关系中，对于某一个变量的每一个数值，都有另一个变量的确定值与之相对应，并且这种关系可用一个函数式表达出来。例如：圆周长L与圆半径r之间存在严格的确定性关系，因而两者的相关关系为函数关系，即。 （二）相关关系 它反映现象之间客观存在的、不严格、不确的相互依存关系。这种关系不能通个别现象体现其关系的规律性，必须在大量现象中才能体现出来。 相关分析是研究一个变量（y）与另一个变量(x)之间相关方向与相关密切程度的一种统计分析方法。 二、相关关系的种类 按相关的方向分为正相关和负相关 正相关是指两个变量之间的变化方向一致，都是增长趋势或下降趋势。 负相关是指两个变量之间的变化趋势方向相反，一个上升而另一个下降。 （二）按相关的形式可分为直线相关的非直线相关 直线相关，又称线性相关。是指当相关关系的一个变量变动时，另一个变量也相应地发生大致均等的变动。 非直线相关，又称非线性相关或曲线相关。是指当相关关系的一个变量变动时，另一个蛮量也相应地发生变动，但这种变动是不均等的。 正、负相关散点图及曲线相关散点图下如： 三、相关分析的主要内容 1、确定现象之间有无关系存在，以及相关关系的形态。 2、确定相关关系的密切程度。 3、确定相关关系的数学表达式。如果现象之间的关系是直线相关，则配合线性方程；如果是曲线相关，则配合曲线方程。这是进行判断、推算和预测的依据。 4、确定因变量估计值误差程度。确定因变量估计值误差大小的指标是估计标准误差，估计标准误差大，表明估计不太精确；估计标准误差大小，表明估计较精确。 相关关系的测定 一、相关表和相关图 （一）简单相关表和相关图 对资料较少的，可不分组，只将自变的变量值值按大小顺序加以排列，因变量的变量值一一加以对应，排列其变量值则可编成简单相关表。 例：某企业工人劳动生产率和利润率相关表如下： 序号 工人劳动生产率（千元） 利润率（%） 序号 工人劳动生产率（千元） 利润率（%） 1 2 3 4 5 8 10 10 11 12 5.5 6.0 6.5 7.0 7.9 6 7 8 9 10 12 14 16 18 19 8.0 8.5 9.0 10.5 12.5 根据表中资料，可绘制相关图如下： （二）分组相关表和相关图 1、单变量分组相关表和相关图 单变量分组相关表，是将两个变量中的一个变量进行分组，而另一个变量不分组，并对分组的变量计算各组的次数，对不分组的变量则计算其平均数。 例：某地水稻浇水量和产量相关表如下： 浇水深度（公分） 田块数 平均亩产（公斤） 3 5 7 8 10 12 13 15 5 4 3 6 6 7 5 7 235 317 348 405 463 478 380 365 相关图与前面绘图技术相似。 2、双变量分组相关表 双变量分组相关表，就是对两个变量都进行分组而编制的相关表。 例：30个同类企业产量和单位成本相关表： 单位成本y（元/件） 产量（件）x 合计 200 300 400 500 800 180 160 4 4 1 —— —— 3 2 —— —— 1 3 1 —— 1 3 2 —— —— 1 4 4 9 10 7 150 140 合计 9 5 5 6 5 30 双变量分组表，由于对两个变量都进行了分组，加权的方法要复杂一些。一般情况下很少使用双变量分组表进行计算。 二、相关系数 （一）相关系数的意义 相关系数是直线相关条件下，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标，记为r 。 相关系数的特点： 1、两个变是是对等的，不分自变量与因变量。因此，相关系数只有一个。 2、相关系数有正、负号，正号表示正相关，负号表示负相关。3、计算相关系数对资料的要求是，相关的两个变量必须都是随机的，这也反映对等关系。 （二）相关系数的计算方法 1、积差法 先计算三个指标： 所以相关系数可以写成： 上面公式的分子和分母中，都有公因子，同时约掉，相关系数的公式可写成： 该公式是通过将各个离差相乘的方法来说明相关程度的，所以把它叫做“积差法”相关系数公式。 2、简捷法 上述“积差法”相关系数公式，是根据，的数值计算的，当和为除不尽的小数时，计算既麻烦又影响其准确性。在实际中，可运用简捷法计算相关系数。简捷法公式可由“积差法”相关系数计算公式推导得出： 用同样方法可得： 把以上结果代入积差法相关系数公式；即可得出相关系数简捷法公式，即： 现引入以下几个符号（这些符号在回归分析中也要使用），即： 则相关系数公式