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2014年自主招生考试数学模拟试题 一个赛跑机器人有如下特性： （1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米； （2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？． 解：约定用表示不小于实数x的最小整数． 设步长为a米，．机器人迈出步恰可跑完50米，所需间隔次数为，于是，所需时间 ． 计算得： ， 而时，. 于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒． 在中，求三角式的最大值。 解：因为 令，则，于是 （ ） 求导，得 ，得. 在上，有；在上，有. 所以 当时，三角式取得最大值. 三、已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.已知动直线与椭圆相交于、两点. （1）若线段中点的横坐标为，求斜率的值； （2）若点，求证：为定值. 解：（1）因为满足： ， ，. (翻译，列出方程组) 解得，（代入消元法解方程组） 所以，椭圆方程为. 将代入中，得 ， . 设、，（设点坐标） 则 （韦达定理） 因为中点的横坐标为， 所以 , 解得 . (解方程) （2）由（1）知，，（韦达定理） 所以 （内积公式） （代入消元） （用韦达定理代入消元） （代数变形） （为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下： 排队人数 0—5 6—10 11—15 16—20 21—25 25人以上 概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 （1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？ （2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？ 解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为： P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75， 即不超过20人排队结算的概率是0.75.　　　　　　　　　 （2）每天超过15人排队结算的概率为　　0.25+0.2+0.05=， 一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为； 一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为； 一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为； 所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为： ， 所以，该商场需要增加结算窗口.　　　　　 数列中，设，且对所有自然数，有 . （1）求通项； （2）求使能被11整除的所有自然数之值. 解：（1）由条件等式，得 所以 . 于是 =. （2）注意到 ，能被11整除， ， 能被11整除， 当时，能被11整除。 故所求的自然数为，且. 六、 已知，．（）当时，求曲线在处的切线方程；（）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数； （）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．（1）当时，，，，，所以曲线在处的切线方程为（）存在，使得成立等价于：，考察，， 2 — + 递减 极小值 递增 由表可知：，，所以满足条件的最大整数（）对任意的，都有成立等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值由（）知，在区间上，的最大值为，可证当时，在区间上，函数且时，，（消失a！） 记， （构造函数） ， . 当时，有； 当时，有， 所以, 函数在区间上递减，在区间上递增，于是 ，（求出最小值） 即 ， 所以，当，且时，有成立， 即对任意，都有实数的取值范围，且，求满足 的实数的最大值。 解：特别取，由，得. 下面证明，当时，不等式成立。 事实上，不妨设，或，则有 ， 得 于是 当，或时等号成立. 故所求实数的最大值为1。 八、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。 证明： 如图，在中， 取三边的中点D， E,，F， 作，交于，连接， 只要证明. 因为，， 所以 ，， 即 ， ， 有 ， ， 得 ， ① . ② 由①+②，得 ， 即 ，所以，于是 ，获证。 九、某建筑物内有一个水平直角型过道如图4所示，两 过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平 移进直角型过道