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圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 典型题例示范讲解 例1已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦 (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托 弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小 解 (1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0, 圆k的半径R=|AK|= ∴|MN|=2=2a(定值) ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化 (2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k (x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中， 令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项 ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a 又|MN|=|y1－y2|=2a， ∴|y1|+|y2|=|y1－y2| ∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0 ∴0≤x0≤ 圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a 且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交 例2如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值 命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合 知识依托 直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值 错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法 解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1 ∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0) 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m ∴A(－m,－m+1),D(m,m+1) 考虑方程组,消去y得 (m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) 整理得 (2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC= 又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上 ∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC) ∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5) 故f(m)=，m∈［2,5］ (2)由f(m)=，可知f(m)= 又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］ 故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5 例3舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为