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2008年全国中考数学压轴题精选(六) 51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？ （08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分 所以 所以 3分 （2）的周长之和为定值． 4分 理由一： 过点C作FG的平行线交直线AB于H ， 因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH 由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6， 所以BC＋CH＋BH＝24 6分 理由二： 由AB＝5，AM＝4，可知 在Rt△BEF与Rt△GCE中，有： ， 所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是 又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 6分 （3）设BE＝x，则 所以 8分 配方得：． 所以，当时，y有最大值． 9分 最大值为． 10分 52（08湖南郴州28题）（本题满分10分） 如图13，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点． （1）求出直线AB的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB的函数表达式为 ∵∴∴ ∴直线AB的函数表达式为． 3分 （2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中， 因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为 则 ∴所求抛物线为 7分 （3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4． 又AC=直角三角形的面积 假设抛物线上存在点． 当故满足条件的存在．它们是． 10分 53（08湖南湘潭26题）（本题满分10分） 已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值. （3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （08湖南湘潭26题解析）解：（1）由题意得： 2分 解得 3分 故抛物线的函数关系式为 4分 （2）在抛物线上， 5分 点坐标为（2，6），、C在直线上 解得 直线BC的解析式为 6分 设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0） 7分 （3）存在P，使得∽ 8分 设P， 故 若要∽，则要或 即或 解得或 又在抛物线上，或 解得或 故P点坐标为和 10分 （只写出一个点的坐标记9分） 54.（08湖南永州25题）（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3 ． （1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程． （3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径． （08湖南永州25题解析）（1）依题意分别代入 1分 解方程组得所求解析式为 4分 （2） 5分 顶点坐标，对称轴 7分 （3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为 8分 把点代入得 9分 同理可得另一种情形 圆的半径为或 10分 55.（08吉林长春27题）（１２分）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线． （1）求的值； （2）求函数的表达式； （3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由． （08吉林