[2011届中考数学专题测试题28.docVIP

几何 （1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点． ①如图1，求证：； ②探究：如图1， ； 如图2， ； 如图3， ． （2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点． ①猜想：如图4， （用含的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． （1）①证法一：与均为等边三角形， ， 2分 且 3分 ， 即 4分 ． 5分 证法二：与均为等边三角形， ， 2分 且 3分 可由绕着点按顺时针方向旋转得到 4分 ． 5分 ②，，． 8分（每空1分） （2）① 10分 ②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，， ，即． 11分 ． 12分 ，， 13分 ， 14分 证法二：同上可证 ． 12分 ，如图，延长交于， ， 13分 14分 证法三：同上可证 ． 12分 ． ， 13分 即 14分 证法四：同上可证 ． 12分 ．如图，连接， ． 13分 即 14分 注意：此题还有其它证法，可相应评分 请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）． ⑴ 线段与的位置关系是； ． 2分 ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图，延长交于点，连结． 是线段的中点， ． 由题意可知． ． ， ． ，． 四边形是菱形， ，． 由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上， 可得． ． 四边形是菱形， ． ． ． ，． ． 即． ，， ，． ． 6分 ⑶ ． 8分 如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长； （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. （1）解法一：如图25-1 过A作AE⊥CD，垂足为E . 依题意，DE=. …………………………2分 在Rt△ADE中，AD=. ………5分 解法二：如图25-2 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . …2分 ∠AED=∠C=60°. 又∵∠D=∠C=60°， ∴△AED是等边三角形 . ∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分 （2）解：如图25-1 ∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为： S=PD·h ………………………………………6分 =(9－x)·x·sin60° =(9x－x2) =－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分 由题意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分 （3）证法一：如图25-3 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 于是9－x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP . △PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求. 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 . 易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分