最大流在信息学竞赛中应用的一个模型江涛..doc

最大流在信息学竞赛中应用的一个模型 江 涛 关键字： 网络 可行流 最大流 附加网络 无源汇 必要弧 流的分离 有上下界的最大流 建模 引言： 最大流类的模型在当今信息学比赛中有相当广泛的应用。但在教学中，发现很多同学对流模型的原理和变形并不掌握，只是记下经典的算法和题目，以便比赛中套用。 这当然有很大的局限性，也不是学习之正道。本讲想通过对最大流模型，特别是附加网络的一些分析、讨论，达到抛砖引玉目的。 一、网络与流的概念 一个实例：运输网络 图1.1 网络定义： 一个有向图 G=(V，E)； 有两个特别的点：源点s、汇点t； 图中每条边(u,v)∈E，有一个非负值的容量C(u,v) 记为 G=(V，E，C) 网络三要素：点、边、容量 可行流定义： 是网络G上的一个“流”，即每条边上有个“流量”P(u,v)，要满足下面两个条件： 流的容量限制---弧： 对任意弧(u,v)---有向边 流的平衡---点： 除源点和汇点，对任意中间点有：流入u的“流量”与流出u的“流量”相等。即： 有 网络的流量：源点的净流出“流量” 或 汇点的净流入“流量”。即： 注意，我们这里说的流量是一种速率，而不是指总量。联系上面所说的实例，下面是一个流量为1的可行流： 图1.2 标准图示法： 图1.3 例1.1 有一个n*m的国际棋盘，上面有一些格子被挖掉，即不能放棋子，现求最多能放多少个棋子“车”，并保证它们不互相攻击(即：不在同一行，也不在同一列)？ 分析： 行、列限制---最多只能一个车控制； 车对行、列的影响---一个车控制一个行和边； 例子： 图1.4  图1.5 显然，我们要求车最多，也就是求流量最大---最大流问题。下面是一个解： 图1.6 即(1,3)、(2,1)、(3,2)格上各放一个车，可得到一个最优方案。 二、最大流问题 寻找网络G上可能的最大流量(和一个有最大流量的可行流方案)，即为网络G上的最大流问题。 我们再来看看图1.1的运输网络例子，我们可能通过改进图1.3得到下面这样的可行流： 图2.1 求解过程中的困惑： [问题2.1]流量还可能增加吗？ [问题2.2]如果能增加，怎样改进？ 三、最大流算法的核心---增广路径 退流的概念---后向弧 仔细分析图2.1，我们发现，流量是可以增加的： 图3.1 把一个流量弧(B,C)和(C,T)上的流退回到B点，改道从B-D-E-T走，就可以增加流量了，如下图： 图3.2 图3.1不能“直接寻找增大流的路径”，是因为当初有些弧上的流选择不“恰当”，要“退流”。 一种直观的想法就是：调整或重新有哪些信誉好的足球投注网站“当初的选择”---难! 能不能保留以前的工作，而在这之上改进呢？经过专家们研究发现，加入退流思想---后向弧，就能再次“直接寻找增大流的路径”。 增广路径(可改进路径)的定义 若P是网络中连结源点s和汇点t的一条路，我们定义路的方向是从s到t，则路上的弧有两种： 前向弧---弧的方向与路的方向一致。前向弧的全体记为P+； 后向弧---弧的方向与路的方向相反。后向弧的全体记为P-； 设F是一个可行流，P 是从s到t的一条路，若P满足下列条件： 在P+的所有前向弧(u,v)上，0≦f(u,v) C(u,v); 在P-的所有后向弧(u,v)上，0f(u,v) ≦C(u,v); 则称P是关于可行流F的一条可增广路径。 图3.3 本图中：S-A-C-B-D-E-T 为一增广路径。其中(C,B)为后向弧，其它为前向弧。 在增广路径上的改进算法： 求路径可改进量； 修改增广路径上的流量； 四、附加网络1---残留网络 由于要考虑前向弧、后向弧，分析、描述时不简洁，在图2.1上直观看也不容易看出增广路径。 因此我们把已经有的流量从容量中分离出来表示，引入一个与原问题等价的附加网络1：残留网络。 图4.1 其中，前向弧(黑色)上的容量为“剩余容量”=C(u,v)-f(u,v)；后向弧(红色)上的容量为“可退流量”=f(v，u)。 改造后的网如下： 图4.2 在这张图上，我们找增广路径显的非常直观了! 结合增广路径，我们有如下定理： 最大流定理 如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。 证明涉及最小割概念，不是本文重点，由于时间关系，从略。