最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现..doc

最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一、最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差 向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即  (3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式  (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。  例1 测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。 i 0 1 2 3 4 5 6 (℃) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为 列表如下 i 0 19.1 76.30 364.81 1457.330 1 25.0 77.80 625.00 1945.000 2 30.1 79.25 906.01 2385.425 3 36.0 80.80 1296.00 2908.800 4 40.0 82.35 1600.00 3294.000 5 45.1 83.90 2034.01 3783.890 6 50.0 85.10 2500.00 4255.000 245.3 565.5 9325.83 20029.445 正规方程组为 解方程组得 故得R与T的拟合直线为 利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。 6-2 例2???? 已知实验数据如下表 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5 4 2 1 1 2 3 4 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。 解 设拟合曲线方程为  列表如下 I 0 1 10 1 1 1 10 10 1 3 5 9 27 81 15 45 2 4 4 16 64 256 16 64 3 5 2 25 125 625 10 50 4 6 1 36 216 1296 6 36 5 7 1 49 343 2401 7 49 6 8 2 64 512 4096 16 128 7 9 3 81 729 6561 27 243 8 10 4 100 1000 10000 40 400 53 32 381 3017 25317 147 1025 得正规方程组 解得 故拟合多项式为 *三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性 定理1 设节点互异，则法方程组（4）的解存在唯一。 证 由克莱