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勾股定理与梯子问题 　例1　如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米． 　　析解：首先根据图1求出AC的长度，再由图2求出CE的长度即可得出答案．因在Rt△ABC中，AB＝2.5，BC＝1.5，根据勾股定理得．在Rt△DCE中，DE＝AB＝2.5，CD＝BC＋BD＝1.5＋0.5＝2． 同样根据勾股定理可得． 则AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（米）．即梯子顶端A下落了0.5米到达点E． 　　二、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系 　　例2　如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至 B′，那么BB′ 　　①等于1米；②大于1米；③小于1米． 　　其中正确结论的序号是________． 　　析解：在Rt△ABO中，因，当其下滑到Rt△A′OB′位置时，有，又因A′O=3，则根据勾股定理可得 　　，则，由此可知应选③． 勾股定理中的思想方法 勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范．在本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供大家参考： (1)面积法．教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同一个图形的面积，从而列出等式解决问题． 例1已知 △ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长． 分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC，然后用不同的方式表示△ABC的面积，进而求出CD的长． 解：如图1 ，∵△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC2＝52-32，∴AC=4（㎝），又S△ABC＝BC×AC＝AB×CD，∴ CD＝＝＝2.4（cm）． (2)构造法．本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考虑添加辅助线构造直角三角形． 例2 如图2，已知△ABC中， ∠B＝30°， ∠C＝45°， AB＝4， AC＝．求△ABC的面积． 分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股定理来解决，可考虑作BC边上的高，构造直角三角形来解决． 解：过点A作ACD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∵AB＝4， ∠B＝30°∴AD＝AB＝2，由勾股定理得，BD＝＝＝． 在Rt△ADC中，∵AC＝， ∠C＝45°由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2，即2AD2＝() 2，∴AD＝CD＝2， ∴BC＝BD＋CD＝＋2，∴S△ABC＝BC×AD＝(＋2)·2＝＋2． (3)转化思想．勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的转化．本章题目中还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题．这些都体现了转化的数学思想． 例3 如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°， AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积． 分析：由题意联想勾股数，可连接AC把四边形的问题转化为三角形的问题． 解：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5．在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169， AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°．∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝＋＝6＋30＝36． (4)分类讨论思想．在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论． 例4 已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长． 分析：已知的两边可能是直角边，也可能一条是直角边而另一条是斜边，因此需要分类讨论． 解：当已知两条边是直角边时，由勾股定理得第三条边的长为＝；当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时，则第三边长为＝4．∴第三边的长为或4． (5)方程思想．勾股定理中的直角三角形三边有，这本身就是一个等量关系，所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法． 例5 如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度． 分析：由题意不妨设AD＝x，则AC＝15－x，又BD＝10米，所以BC＝15-10＝5米，Rt△ABC的三边满足购股定理，因此可列方程解得AD，进而求AB的长． 解： 设AD＝x，则AC＝15－x，又BD＝10，所以BC＝1