[复变函数习题答案第3章习题详解.docVIP

第三章习题详解 沿下列路线计算积分。 自原点至的直线段； 解：连接自原点至的直线段的参数方程为： 自原点沿实轴至，再由铅直向上至； 解：连接自原点沿实轴至的参数方程为： 连接自铅直向上至的参数方程为： 自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。 解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为： 连接自沿水平方向向右至的参数方程为： 分别沿与算出积分的值。 解： 而 设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。问，是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 解：不成立。 例如：，， 利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。 解： 计算积分的值，其中为正向圆周： ； 解：在上， 解：在上， 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。 解：在内解析，根据柯西—古萨定理， 解：在内解析，根据柯西—古萨定理， 解：在内解析，根据柯西—古萨定理， 解：在内解析，在内， 解：在内解析，根据柯西—古萨定理， 解：在内解析，在内， 沿指定曲线的正向计算下列各积分： ，： 解：在内，在解析，根据柯西积分公式： ，： 解：在内，在解析，根据柯西积分公式： ，： 解：在内，在解析，根据柯西积分公式： ，： 解：不在内，在解析，根据柯西—古萨定理： ，： 解：在解析，根据柯西—古萨定理： ，：为包围的闭曲线 解：在解析，根据柯西—古萨定理： ，： 解：在内，在解析，根据柯西积分公式： ，： 解：在内，在解析，根据柯西积分公式： ，： 解：在内，在解析，根据高阶导数公式： ，： 解：在内，在解析，根据高阶导数公式： 计算下列各题： 解： ； 解： ； 解： ； 解： ； 解： （沿到的直线段）。 解： 计算下列积分： ，（其中：为正向）； 解： ，（其中：为正向）； 解： ，（其中：为正向，：为负向）； 解：在所给区域是解析的，根据复合闭路定理： ，：（其中为以，为顶点的正向菱形）； 解：在所给区域内，有一孤立奇点，由柯西积分公式： ，（其中为的任何复数，：为正向）。 解：当，在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理： 当，在所给区域内解析，根据高阶导数公式： 证明：当为任何不通过原点的简单闭曲线时，。 证明：当所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：； 当所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：； 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 解：1）； 2） 由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为在复平面上处处不解析。 设区域为右半平面，为内圆周上的任意一点，用在内的任意一条曲线连接原点与，证明。[提示：可取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为。 证明：因为在内解析，故积分与路径无关，取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为，则： 设和为相交于、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为与。与的公共部分为。如果在与内解析，在、上也解析，证明：。 证明：如图所示，在与内解析，在、上也解析，由柯西—古萨基本定理有： 设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的不同位置，计算积分的值。 解：分四种情况讨论： 如果与都在的外部，则在内解析，柯西—古萨基本定理有 如果与都在的内部，由柯西积分公式有 如果在的内部，都在的外部，则在内解析，由柯西积分公式有 如果在的外部，都在的内部，则在内解析，由柯西积分公式有 设与为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明 证明：因为与为两条互不包含，也不相交，故与只有相离的 位置关系，如图所所示。 当在内时，在内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式： 当在内时，在内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式： 设函数在内解析，且沿任何圆周：，的积分等于零，问是否必需在处解析？试举例说明之。 解：不一定。例如：在处不解析，但。 设与在区域内处处解析，为内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于。如果在上所有的点处成立，试证在内所有的点处也成立。 证明：设是内任意一点，因为与在及内解析，由柯西积分公式有： ， 又在上所有的点处成立，故有： 即在内所有的点处成立。 设区域是圆环域，在内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周与，包含，为，之间任一点，试证仍成立，但要换成。 证明：