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一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) . （A） （B）（C） （D）不可导. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 （A） （B）（C） （D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） . . . . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 设函数由方程确定，求以及. 设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分） 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D. 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设） 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） . 6..7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 解：方程两边求导 ， 解： 解： 解：由，知。 ，在处连续。 解： ， 四、 解答题（本大题10分） 解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程： 解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 证明： 故有： 证毕。 证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且 由题设，有， 有，由积分中值定理，存在，使即 综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在 和，使及，即. 高等数学I 解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 当时，都是无穷小，则当时（ D ）不一定是无穷小. (A) (B) (C) (D) 极限的值是（ C ）. （A） 1 （B） e （C） （D） 在处连续，则a =（ D ）. （A） 1 （B） 0 （C） e （D） 设在点处可导，那么（ A ）. （A） （B） (C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 极限的值是 . 由确定函数y(x)，则导函数 . 直线过点且与两平面都平行，则直线的方程为 . 求函数的单调递增区间为 （－￥，0）和（1，+￥ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 计算极限. 解： 已知：，，，求。 解： ， 设在[a，b]上连续，且，试求出。 解： 求 解： 四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 求 . 求函数 的极值与拐点. 解：函数的定义域（－￥，+￥） 令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是极大值点，x 2 = -1是极小值点 极大值，极小值 令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = - x (-￥,