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2-4 数学竞赛中的数论问题（09-10-28） 数论是研究自然数的一个数学分支. 一、数学竞赛中数论问题的基本内容 主要有8个定义、15条定理. 定义1 （带余除法）给定整数如果有整数满足 ， 则和分别称为除以的商和余数．特别的，时，则称被整除，记作，或者说是的倍数，而是的约数． 定义2 （最小公倍数）非零整数的最小公倍数是能被其中每一个所整除的最小正整数，记作． 定义3 （最大公约数）设整数中至少有一个不等于零，这个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作． 定理1 对任意的正整数，有 ． 定义4 如果整数 满足，则称与是互素的（以前也称为互质）． 定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数． 定理2 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数． 定义6 对于整数，且，若，则称关于模同余，记作若则称关于模不同余，记作． 定理3 （整除的性质）设整数为非零整数， 若，，则； 若，则； 若，，则对任意整数，有； 若，且，则； 若，且，则 若为素数，且，则或． 定理4 （同余的性质）设为整数， 若且，则； 若且，则且． 若，则对任意的正整数有，且； 若，且对非零整数有，则． 定理5 设为整数，为正整数， 若，则； 若，则； 若，则． 定义7 设为正整数，为大于2的正整数, 是小于的非负整数，且．若 ， 则称数为的进制表示． 定理6 给定整数，对任意的正整数，都有唯一的进制表示． 定理7 任意一个正整数与它的十进制表示中的所有数字之和关于模9同余． 定理8 （分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的 . 定理9 若正整数的素数分解式为 则的约数的个数为， 的一切约数之和等于 ． 定义8 对任意实数，是不超过的最大整数．亦称为的整数部分，． 定理10 在正整数的素因子分解式中，素数作为因子出现的次数是 定理11 如果素数不能整除整数，则． 定理12 设为素数，对任意的整数，有． 定理13 设正整数，则不大于且与互素的正整数个数为 ． 定理14 整系数二元一次方程存在整数解的充分必要条件是． 定理15 若是整系数二元一次方程的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为 二. 数学竞赛中数论问题的重点类型 主要出现8类问题.： 1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）； 2.约数与倍数、素数与合数； 3.平方数； 4.整除； 5.同余； 6.不定方程； 7.数论函数、高斯函数、欧拉函数； 8.进位制（十进制、二进制）. 三. 例题选讲 例1 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100.每盏灯由一个拉线开关控制着.最初，电灯全是关着的.另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？ 讲解 （1）直接计算100次记录，会眼花缭乱. （2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几个正约数就被拉几次. （3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关 开 关 开 关 开 关 开 关 开 灯被拉奇数次的亮！ （4）哪些数有奇数个约数：平方数. （5）1～100中有哪些平方数：共10个： 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100. 答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个还亮. 例2 用表示不大于的最大整数，求 . 讲解 题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除： （1）分子是那些数相加，求出和来； 由，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个 1～365 0 365个 366～731 1 366个 732～1097 2 366个 1098～1463 3 366个 1464～1829 4 366个 1830～2004 5 175个 （2）除法谁除以366，求出商的整数部分. 原式 命题背景2004年有12个月、366天. 例3 证明对任意正整数