[数形结合思想在高中数学解题中的应用.docVIP

第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1. 分析： ， 例2. 解：法一、常规解法： 法二、数形结合解法： 例3. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析： 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。 例4. 分析： 例5. 分析： 构造直线的截距的方法来求之。 截距。 例6. 分析： 以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截 例7. MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ） 分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图）， 又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点， ∴ON是△MF1F2的中位线， ②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。 例8. 分析： 例9. 解法一（代数法）：， 解法二（几何法）： 例10. 分析： 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解： 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图） 相切于第一象限时，u取最大值 三、总结提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。 四、强化训练 见优化设计。 【模拟试题】 一、选择题： 1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 4. 适合且的复数z的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 5. 若不等式的解集为则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知复数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2] 8. 定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（ ） A. B.