李歆雨_三角形内心坐标简化计算的探讨..doc

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李歆雨_三角形内心坐标简化计算的探讨.

三角形内心坐标简化计算的探讨 山东省菏泽市菏泽一中高一28班 李歆雨 指导老师:李道建     摘要 直角坐标平面中,求三条直线围成的三角形的内心坐标,用斜率的正负关系来判断内角平分线去绝对值取正负号,其结论如下,如果m1m2 0, L1L2的内角平分线去绝对值取负号。如果m1m20,则L1L2的内角平分线去绝对值取正号。如果m2m30,则L2L3的内角平分线要去绝对值取负号。 如果m2m30 ,则L2L3的内角平分线要去绝对值取正号。据此用解方程组的方法求出交点坐标,也就是内心坐标。 关键词:内心坐标 斜率 一 前言 求内心坐标问题 三直线L1:3x+4y-12=0??L2:3x-4y-12=0??L3:4x+3y+12=0??围成一三角形,求三角形内心坐标 求三直线y-2=0,2x+y=0,x+2y=0所围成的三角形的内心坐标 直角坐标平面中,如果要求三条直线围成的三角形的内心,通常有两种方法,一是根据内心到两条边的距离相等,组成方程组求内心坐标,二是先求出两条内角平分线,再求出两线的交点坐标,即为内心坐标。无论用何种方法解题都要进行方程组的所有四种组合求解,然后根据图形取舍,舍去不符合题意的三个坐标。如果在解题前能判断内心所在角平分线的区域位置,通过两相交直线的区域不同来确定三角形角平分线的唯一性,那么只要解一组方程组即可求出内心坐标。然而这个过程通常还需在直角坐标平面上画出三条直线来判断。如果不依赖直角坐标系图形来判断,解题过程就会得到进一步简化。 二 研究目的 简化内心坐标判定,由三直线的组成的方程组直接求出三角形的内心。 三 研究过程与方法  (一)两相交直线的区域不同确定三角形内角平分线的唯一性  1.两直线交角的平分线问题 以平面上过的两条直线, 为例:  由于角平分线是到, 距离相等的点的轨迹,所以角平分在线的点满足 把绝对值打开 (1) (1)式代表两条直线,它们都是, 交角的角平分线,这是因为和的交角有两个,彼此互补,如图一: 和都是角平分线,易见和垂直。 上面这个方法非常简洁,但是却不容易分辨(1)中哪个方程式是,哪个方程式是。 那么 对于 已知两直线,, 则两直线、的交角平分线方程式为, 即 若要求指定角角平分线,则必须先判断那个夹角是指定角以及绝对值内的正负号。 2. 两直线指定交角的平分线图示及绝对值内的正负号判定 若,则平面分成三个部分,即直线、(右侧半平面)、 (左侧半平面): (1)直线上之任一点满足。 (2)右侧半平面之任一点满足。 (3)左侧半平面之任一点满足。 2.若,则平面的三个部分(、、)如上图: 那么 对于下图L1和 L2交角的平分线有L4与L5两条,符合题意的为L4,去绝对值内取负号。进一步观察同为L1和 L2交角的平分线,L4位于L1A侧区 L2的B侧区,即AB不同区,而L5位于L1、L2的B侧区,为相同区。据此可确定三角形内角平分线为L4,那么它和两直线的斜率有和内在的联系,以下做进一步的探讨。 (二)依据斜率的正负关系判断内角平分线 1、 直线的斜角、斜率、与图形的关系 斜角的范围: 斜率的正负: m 0 m 0 m = 0 没有斜率(m不存在) 2、条件: 直线L1的方程式为 a1x + b1y=c1斜率为m1,直线L2的方程式为a2x +b2y =c2斜率为m2 直线L3的方程式为a3x + b3y =c3斜率为m3,其中m1>m2>m3,且a1≥0 a1≥0 a1≥0。 3.三条直线围成三角形的可能状况: (1) m1(+),m2(+),m3(+) 或 m1(-),m2(-),m3(-) 由上图(一)可以看出如果作L1,L2的内角平分线则须视为AB不同区,作L2,L3的内角平分线则同样视为AB不同区。如果将L1移至P点的另一侧,则L1会从B侧变为A侧,L2会从A侧变为B侧,L3会从B侧变为A侧,见上图(二)。这样的结果和(图一)的情形只是符号相反,但结论却是一致的。所以,在以后列出的其他可能图形中将不讨论另一侧的情况。 由以上的结果提出以下的假设: 如果L1,L2的斜率为同号(+、+或-、

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