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构建数学模型解数列综合题和应用性问题.
题目 高中数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题
高考要求
纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度
重难点归纳
1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题
2 纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关
(1)事理关 需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力
(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系
(3)事理关 在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力
典型题例示范讲解
例1从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型
知识依托 本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点
错解分析 (1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差
技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧
解 (1)第1年投入为800万元,
第2年投入为800×(1-)万元,…
第n年投入为800×(1-)n-1万元,
所以,n年内的总投入为
an=800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1
=800×(1-)k-1=4000×[1-()n]
第1年旅游业收入为400万元,
第2年旅游业收入为400×(1+),…,
第n年旅游业收入400×(1+)n-1万元
所以,n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k-1
=400×()k-1=1600×[()n-1]
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn-an>0,即1600×[()n-1]-4000×[1-()n]>0,
令x=()n,代入上式得 5x2-7x+2>0
解此不等式,得x<,或x>1(舍去)
即()n<,由此得n≥5
∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入
例2已知Sn=1++…+,(n∈N*),设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式
f(n)>[logm(m-1)]2-[log(m-1)m]2恒成立
命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力
知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙
错解分析 本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理
技巧与方法 解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为
函数f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2-[log(m-1)m]2
解 ∵Sn=1++…+ (n∈N*)
∴f(n+1)>f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n,不等式
f(n)>[logm(m-1)]2-[log(m-1)m]2恒成立
只要>[logm(m-1)]2-[log(m-1)m]2成立即可
由得m>1且m≠2
此时设[logm(m-1)]2=t 则t>0
于是 解得0<t<1
由此得0<[logm(m-1)]2<1
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