求不定积分的方法及技巧小汇总..doc

求不定积分的方法及技巧小汇总 利用基本公式。（这就不多说了~） 第一类换元法。（凑微分） “凑” 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 其中可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1： 【解】 例2： 【解】 在第一类换元积分中，有以下几种常见形式： 型，对于此类被积函数，分别作变换μ=cosx以及μ=sinx。 型，利用三角恒等式：，将被积函数化为cos2x的多项式，然后再依据1型进行求解。 型，依次作变换μ=tanx和μ=secx进行求解。 第二类换元法：“变” 设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： 在第二类换元积分中，有以下几种常见形式： 型，可以作代换化去根式。 型，可以作代换化去根式。 型，可以作代换化去根式。 有时候，在分母形式为积分变量的幂形式时，可以考虑进行倒代换，也即的代换。 分部积分法. “分” 公式： 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑： 降低多项式部分的系数 简化被积函数的类型 选μ的原则是，对其求有限次的导，可简化被积函数的形式。 举两个例子吧~！ 例3： 【解】观察被积函数，选取变换,则 例4： 【解】 上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在中，的选取有下面简单的规律： 将以上规律化成一个图就是： 但是，当时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式： 几种特殊类型函数的积分。 有理函数的积分 有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：） 例5： 【解】 故不定积分求得。 在此部分有以下小技巧： 或，可以令这个简单根式为μ，去掉根式。 （2）三角函数有理式的积分 万能公式： 的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。 对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（注：没举例题并不代表不重要~） 简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。  （a^x arcsinx） （lnx Pm(x) sinx) ν μ