求函数解析式的基本方法..doc

求函数解析式的基本方法 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知，求。 解：因为 二、换元法 已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。 例2. 同例1。 解：令， 所以， 所以。 评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。 三、方程组法 根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。 解：， ① ② 得，所以。 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。 四、特殊化法 通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。 例4. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。 解：令， 令， 所以， 所以 五、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例5. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。 解：因为解集为（1，3）， 设， 所以 ① 由方程 得 ② 因为方程②有两个相等的实根， 所以， 即 解得 又， 将①得 。 六、函数性质法 利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。 例6. 已知函数是R上的奇函数，当的解析式。 解析：因为是R上的奇函数， 所以， 当， 所以 七、反函数法 利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。 例7. 已知函数，求它的反函数。 解：因为， 反函数为 八、“即时定义”法 给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。 例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数 若，写出函数的解析式。 解： 九、建模法 根据实际问题建立函数模型的方法。 例9. 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：设容器高为xcm，容器的容积为 。 求的导数，得 当，那么为增函数；当，那么为减函数； 因此，在定义域（0，24）内，函数只有当时取得最大值，其最大值为 答：当容器的高为10cm，容器的容积最大，最大容积为。 十、图像法 利用函数的图像求其解析式的方法。 例10. 在同一平面直角坐标系中，函数的图像关于直线对称。现将的图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：由图像求得解析式 将向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的图像， 所以 因为的图像关于对称，所以互为反函数。 所以 所以选（A）。 十一、轨迹法 设出函数图像上任一点P（x,y），根据题意建立关于x,y的方程，从而求出函数解析式的方法。 例11. 已知函数的图像与函数的图像关于原点对称，求的解析式。 解：设图像上任一点P（x，y），P关于原点的对称点在图像上， 所以， 所以