求数列通项公式的八种方法..doc

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求数列通项公式的八种方法.

求数列通项公式的八种方法 一、公式法(定义法) 根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法 1、累加法 适用于: 若,则 两边分别相加得 例1 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:由得则 所以数列的通项公式为。 例2 已知数列满足,求数列的通项公式。 解法一:由得则 所以 解法二:两边除以,得, 则,故 因此, 则 2、累乘法 适用于: 若,则 两边分别相乘得, 例3 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:因为,所以,则,故 所以数列的通项公式为 三、待定系数法 适用于 分析:通过凑配可转化为; 解题基本步骤: 1、确定 2、设等比数列,公比为 3、列出关系式 4、比较系数求, 5、解得数列的通项公式 6、解得数列的通项公式 例4 已知数列中,,求数列的通项公式。 解法一: 又是首项为2,公比为2的等比数列 ,即 解法二: 两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的…… 例5 已知数列满足,求数列的通项公式。 解法一:设,比较系数得, 则数列是首项为,公比为2的等比数列, 所以,即 解法二: 两边同时除以得:,下面解法略 注意:例6 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:设 比较系数得, 所以 由,得 则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。 注意:形如时将作为求解 分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。 例7 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:设 比较系数得或,不妨取, 则,则是首项为4,公比为3的等比数列 ,所以 四、迭代法 例8 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:因为,所以 又,所以数列的通项公式为。 注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 五、变性转化法 1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式 例9 已知数列满足,,求数列的通项公式。 解:因为,所以。 两边取常用对数得 设 (同类型四) 比较系数得, 由,得, 所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此 则。 2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例10 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:求倒数得为等差数列,首项,公差为, 3、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:令,则 代入得 即 因为, 则,即, 可化为, 所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得 。 六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。 例12 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:由及,得 由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。 (1)当时,,所以等式成立。 (2)假设当时等式成立,即,则当时, 由此可知,当时等式也成立。 根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。 七、阶差法 1、递推公式中既有,又有 分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。 例13 已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。 解:∵对任意有 ⑴ ∴当n=1时,,解得或 当n≥2时, ⑵ ⑴-⑵整理得: ∵各项均为正数,∴ 当时,,此时成立 当时,,此时不成立,故舍去 所以 2、对无穷递推数列 例14 已知数列满足,求的通项公式。 解:因为 ① 所以 ② 用②式-①式得 则 故 所以 ③ 由,,则,又知,则,代入③得。 所以,的通项公式为 八、不动点法 不动点的定义:函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。 分析:由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。 类型一:形如 例 15 已知数列中,,求数列的通项公式。 解:递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1 ∴,…… 类型二:形如 分析:递归函数为 (1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,∴ (2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。 例16 已知数列满足,求数列的通项公式。 解:令,得,则是函数的两个不动点。因为 。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。

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