求解绝对值不等式问题的几种特殊策略..doc

求解绝对值不等式问题的几种特殊策略 解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有以下几种： 1、利用绝对值的定义 例1：解不等式. 解：原不等式于：（Ⅰ）或（Ⅱ） 由（Ⅰ）得：或（Ⅱ）得 ∴原不等式的解集为：. 解不等式. 解：原不等式即：，由绝对值的意义可知，亦即，所以，即原不等式的解集为 . 评注：利用绝对值的意义求解有些不等式时可另辟蹊径，化繁为简. 例3. 解不等式 分析：不等式左边可化掉无理式。 解：原不等式等价于 或 或 原不等式的解集为 2、利用绝对值的性质 例1：解不等式. 解：原不等式等价于即: 由①得 由②得 ∴原不等式的解集为：. 3、利用平方法 例1：解不等式. 解：将原不等式两边平方为： ∴原不等式的解集为：. 例2、解不等式 解：原不等式变为： 等价于，即 ∴原不等式的解集为 4、利用分段讨论法（即零点分段法） 例1：解不等式. 解：当时，不等式化为：∴ 当时，不等式化为： ∴ 当时， ∴ 综上所述，不等式的解集为：. 例2. 解不等式 分析：如何去掉两个绝对值的符号？首先找出零点，第一个绝对值的式子的零点为5，第二个式子的零点为，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。 解：原不等式变为： 即 ∴原不等式的解集为 注：利用此法解题时要注意x的系数为正。 5、利用绝对值的几何意义 例1：解不等式. 解：如图所示，不等式表示数轴距A（3）、B（-2）两点的距离之和大于5的点，方程表示在数轴上距A、B两点的距离之和等于5的点。 · · · ·3 x ∴原不等式的解集为：. 6、利用不等式组法〈即等价转化法〉 例1：已知关于x的不等式有解，求a的取值范围。 解：令 则由上知 将原可不等式变为不等式组 因原不等式有解，如图，易得 。 例2：已知关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围。 解：令，由上知，故可将原不等式等价变为不等式组 ，如图 ，易得. 7、利用数形结合法 例1 解不等式 解 画出和的图像，如图所示，求出他们的交点的横坐标分别是和因为，所以原不等式的解是的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是或. 若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 解析：在同一坐标系中分别画出函数与的图象（如下图），显然，要使不等式对一切恒成立，须，即的取值范围是. 若不等式恒成立，求实数的取值范围. 解析：在同一坐标系中分别画出函数及（如下图），由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数图象的下方，因此，函数的图象也必须经过点，所以. 评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行. 8 利用利用定比分点法 例1 解不等式. 解：在数轴上取，其中，使P为 的内分点即可，这就顺利地去掉了绝对值符号， 由 即： 即：解不等式：. 等价于整式不等式： 又 故不等式的解集为： 9、利用绝对值不等式 例1 解不等式：. 解析：首先应有，所以原不等式等价于，由于在不等式中，成立的条件是，所以原不等式等价于，而，所以，因此得，故原不等式的解集为. 评注：要特别注意不等式中各部分等号及不等号成立的条件，利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题. 若不等式恒成立，求实数的取值范围. 解析：令，则只须求出函数的最小值即可.由于（当时等号取到），即的最小值等于3，所以不等式恒成立时，的取值范围是. 评注：此处用绝对值不等式求最值，避免了对函数的分段讨论，显得非常简单.  2 3 1 -2 -1 B