求通项公式和数列求和的常用方法..doc

求递推数列通项公式的常用方法 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 【解析】： ， ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列中，，，求数列的通项公式. 【解析】：，，， 猜测，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式. 三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例三 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式. 【解析】：,,=1+++ =. 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练3.已知,,求数列通项公式. 四 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 例四 已知,,求数列通项公式. 【解析】：,,又有= 1×=,当时，满足，. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是. 五 构造新数列: 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例3:已知， ，求。 解： 。 变式:（2004，全国I,）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ，将以上n个式子相乘，得 类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列中，若，则该数列的通项_______________ （key:）类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例5:已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解之得： 所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例6: 数列：， ,求 解（特征根法）：的特征方程是：。, 。又由，于是 故 练习:已知数列中，,,，求。 。 变式:（2006，福建,文,22） 已知数列满足求数列的通项公式； （I）解： 类型6 递推公式为与的关系式。(或) 解法：利用与消去 或与消去进行求解。 例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 解：（1）由得： 于是 所以. （2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2、等比数列求和公式： 4、 例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的等差数列． （2）令求数列的前项和． 解：（1）由已知得解得． 设数列的公比为，由，可得． 又，可知，即， 解得．由题意得． ．故数列的通项为． （2）由于由（1）得 ， 又 是等差数列． 故． 练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值. 二、错位相减法 设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。 例2（07高考天津）在数列中，，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式；