江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数学归纳法与二项式定理..doc

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编 数学归纳法与二项式定理 1、（常州市2013届高三期末）空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分. （1）求 ； （2）写出关于的表达式并用数学归纳法证明. 解：（1）； （2）.证明如下： 当时显然成立， 设时结论成立，即， 则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个， ， 即当时，结论也成立. 综上，对，. 2、（南京市、盐城市2013届高三期末） 已知, 其中． (1)若展开式中含项的系数为14, 求的值； (2)当时, 求证：必可表示成的形式. 解: (1)因为,所以，故项的系数为，解得………5分 (2)由二项式定理可知,, 设，而若有，， 则,…………………………………………………………7分 ∵， ∴令，则必有……………………………………………………9分 ∴必可表示成的形式，其中 ……………………………10分 注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数． 3、（南通市2013届高三期末） 已知数列满足：． 若，求数列的通项公式； 若，试证明：对，是4的倍数． 解：(1)当时，． 令，则． 为奇数，也是奇数且只能为， 即 (2)当时， 下面利用数学归纳法来证明 当时，，命题成立； 设当时，命题成立，则存在，使得， ， 其中，， ，当时，命题成立． 由数学归纳法原理知命题对成立 4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末） 已知数列满足且 计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明； 求证：当时， 证明：⑴，，，猜想： ①当时，，结论成立； ②假设当时，结论成立，即， 则当时，即当时，结论也成立，由①②，数列的通项公式为分 原不等式等价于 证明：显然，当时，等号成立； 当时，， 综上所述，当时，10分 5、（无锡市2013届高三期末） 已知函数f（x）= x2+1nx． （Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值； （Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：． 是等差数列，且是展开式的前三项的系数. （Ⅰ）求展开式的中间项； （Ⅱ）当时，试比较与的大小. 解：（Ⅰ）依题意，，，由可得（舍去），或 …………………2分 所以展开式的中间项是第五项为：；…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，, 当时， 当时， 猜测：当时， …………………6分 以下用数学归纳法加以证明： ①时，结论成立， ②设当时，， 则时， 由可知， 即 综合①②可得，当时， …………………10分 7、（镇江市2013届高三期末）已知函数在区间上是增函数. （1）求实数的取值范围； （2）若数列满足，，Ｎ． 解：（1）函数在区间上是增函数. 在区间上恒成立,……2分 ,又在区间上是增函数 即实数的取值范围为.……3分 （2）先用数学归纳法证明. 当时，成立, ……4分 假设时，成立,……5分 当时，由（1）知时，函数在区间上是增函数 ,……7分 即成立, 当时,成立.……8分 下证. ……9分 . 综上.……10分