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江苏省如东县2013届高三12月四校联考数学(文)试题.
2012 2013学年度第一学期
高三联考试卷 数学
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1.设集合,,则= ▲ .
2.已知复数满足,其中为虚数单位,则 ▲ .
3.已知点和向量,若,则点B的坐标为 ▲ .
4.已知函数是偶函数,则 ▲ .
5.已知,那么的 ▲ 条件(“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”
“既不充分又不必要”)
6.为了得到函数的图象,可以将函数的图象向右平移 ▲ 个单位长度
7.若存在实数满足,则实数的取值范围是 ▲ .
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为 ▲ .
9.已知 ▲ .
10.定义为中的最小值,设,则 的最大值是 ▲ .
11.在直角三角形中,的值等
于 ▲ .
12.若,则a,b,c的大小关系是 ▲ .
13.椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是 ▲ .
14.已知函数函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围是 ▲ .
二.解答题:(本大题共6个小题,共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知,且,,求:(1) (2)实数的值.
16.(本小题满分14分)
如图,斜三棱柱中,侧面底面ABC,
侧面是菱形,,E、F分别是、AB的中点.
求证:(1)EF∥平面;
(2)平面CEF⊥平面ABC.
17.(本小题满分14分)
若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边,且,
(1)求;(2)当时,求的值。
18. (本题满分16分)
如图,开发商欲对边长为的正方形地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路(点分别在上),根据规划要求的周长为.
(1)设,求证:;
(2)欲使的面积最小,试确定点的位置.
19.(本小题满分16分)
已知椭圆的离心率为,一条准线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,是上的点,为椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点.
①若,求圆的方程;
②若是l上的动点,求证:点在定圆上,并求该定圆的方程.
20.(本小题满分16分)
已知函数,
(1)若在上的最大值为,求实数的值;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数,曲线 上是否存在两点,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由。
2012------2013学年度第一学期
高三联考试卷 数学参考答案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1. ;2. ;3.(5,7);4. 25.必要不充分; 6. ; 7. ;
8. ;9. ;10. 2;11. ;12. bac;13. 3 ;14.
二.解答题:本大题共6个小题,共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.解:(1)依题意 ……………4分
(2)由 得 ∴ ……8分,
即方程的解是 9分于是,, …… 12分
∴ …… 14分
16.证明:(1)取BC中点M,连结FM,.
在△ABC中,因为F,M分别为BA,BC的中点,
所以FM AC. ………………………………2分
因为E为的中点,AC ,
所以FM . 从而四边形为平行四边形,
所以. …………………………………………4分
又因为平面,平面,
所以EF∥平面. ………………………6分
(2) 在平面内,作,O为垂足.
因为∠,所以
,
从而O为AC的中点.……8分
所以,
因而. …………………10分
因为侧面⊥底面ABC,交线为AC,,所以底面ABC.
所以底面ABC. …………………………………………12分
又因为平面EFC,
所以平面CEF⊥平面ABC. …………………………………………14分
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