河南科技大学数值分析（计算方法）期末复习画题资料..doc

1. 数值积分公式形如（15） 试确定求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。 已知该求积公式余项试求出余项中的参数。 （1）解：时，左，右，左＝右得： 时，左，右，左＝右得： 时，左，右，左＝右得： 联立上述三个方程，解得： 时，左，右，左右 所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造的Hermite插值，因为该求积公式代数精度为2，所以有： 其求积余项为： 所以， 2. 设初值问题 . 写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若，求解，保留两位小数。（10分） .解：改进的Euler公式是： 具体到本题中，求解的公式是： 代入求解得：, 3. 分别用梯形公式，复化梯形公式计算积分： 其中在用复化梯形公式求积分时，步长。（10分） 梯形公式为: 复化梯形公式为: 具体到本题中,可知 = 4.用改进的欧拉方法求解初值问题： 取步长，计算过程中保留到小数点后四位。（10分） .改进的Euler公式为: 具体到本题中,则为 经化简为: 所以: 0 5.证明: 设,左=右 左=右 ,右,左右 所以,该公式具有一次代数精度. 6. 用两点Gauss-Legendre求积公式求积分 解：两点Gauss-legrende求积公式为： 所以 7. 用欧拉法求解常微分方程组初值问题：（10分） 在[0,0.4]上的数值解,取步长，计算过程中保留两位小数。（10分） Euler公式为: 具体到本题中,则为 又因为： 所以上述求解公式可化简为: 所以: ； 8.分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组： 的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。(15分) .解:Jacibo迭代公式为: Gauss-Seidel迭代公式为: (2)解:设矩阵可分解为三个矩阵的和,即,其中 所以, Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵 可求得 所以, 所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的. 9.证明(10分) 1.设,已知插值节点且,,证明: (1)在上的线性插值函数的误差界为 (2)二次插值多项式的误差界为 1证明: 因为是在上的线性插值函数 所以有插值余项公式可知其插值余项为：，其中 即： 令， 易知：，所以： 10. 证明: 因为是在上的二次插值多项式 可知其插值余项为：，其中 即： 令， 令 令，则 所以， 11．用Euler方法求解初值问题 取在区间计算,结果保留到小数点后4位。(10分） .解：Euler公式是： 具体到本题中，求解的Euler公式是： 代入求解得： 12. 用LU分解法解线性方程组（10分） 解，设A可以三解分解，即 由矩阵的乘法及矩阵相等可得： ， 令 求解三角方程组：，得： 求解三角方程组：，得： 所以，原方程组的解为： 13试证明线性二步法： 的局部截断误差与同阶，并求出截断误差的首项。 证明：分别将，，在处用Taylor公式展开得： 将以上三式代入线性二步法中，得： 又方程的真解的Taylor展式为： 所以，局部截断误差为： 所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：