河海大学数学建模基于历史数据分析的金融投资风险问题..doc

基于历史数据分析的金融投资风险问题 摘要 本文针对金融投资的问题建立了两种模型。首先，通过对历史数据的分析 ，发现日收益额的样本大体呈正态分布，据此提出假设并建立了正态分布通用模型，并采用概率纸检验法对分布的正态性进行检验，得出交易日的日投资效益分布近似服从正态分布，并利用其正态分布的性质进行求解，得出：一个周期内损失数额超过10 万元的概率为3.80%，以 95%的置信度保证损失的数额不会超8.72 万元，一个周期内损失超过是10万元的可能性不大于5%的初始投资额最多为1147 万元；两个周期内损失数额超过10 万元的概率为3.65%，以 95%的置信度保证损失的数额不会超7.94 万元，两个周期内损失超过是10万元的可能性不大于5%的初始投资额最多为1259 万元。模型结论可推广到T个周期的情况。 其次，针对解决预测收益的数值及以一定置信度为基础的损失分析的问题，建立一个VaR （Value at Risk）风险分析模型，得出关于初始投资额M、 限定损失额L、 置信度（1-）和周期个数T的一般数学表达式，采用方差—协方差法对VaR模型进行求解。利用已建立的VaR模型估计在下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性，以及能以95%的置信度保证损失的数额的上限值，并利用相同的方法估计下两个周期的情况。通过比较正态分布模型与VaR风险分析模型，发现两者对下一周及下两周的估计情况相近，故估计的结果具有可靠性，模型具有稳定性。 关键词：正态分布；VaR模型；置信度；收益额；金融投资 一、问题重述 某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题： 1）准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。 2）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。 下面是该公司在过去一年255个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据, 假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元： 收益额 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 天数 1 1 1 1 1 2 1 2 1 4 0 2 6 3 4 7 收益额 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 天数 5 8 5 7 10 14 8 19 9 11 11 14 10 6 6 8 收益额 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 天数 9 5 9 3 7 4 1 6 2 5 5 3 2 2 1 0 收益额 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 -29 -30 天数 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 要求： 参考以上数据，建立两种模型来解决前述的两个问题，并对这两个模型加以比较； 讨论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。 陈述上述两个问题的一般形式（即初始投资额为M, 限定损失额为L, 置信度为 1-, T 个周期）及其解决方案。 二、问题分析 这是一个根据已知历史收益额情况下，为将来获得较丰厚的收益而制定投资计划的问题。255个交易日的日收益额，可以看作数理统计中的样本观测值。首先，可以采用绘制样本散点图的方法，探究样本观测值的分布规律，据此选择并建立两个代表模型，确定抽样分布的概率密度函数和分布函数的通用表达式及各个参数。其次，由建好的模型预测一个周期内及两个周期内的损失的数额超过10万元的可能性，以及得出能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。最后对建立的两个模型的可靠度及稳定性进行分析比较，具体情况具体分析，扬长避短，选择适宜的求解模型。 图一：问题分析流程图 三、模型假设 （1）各个周期的收益额相互独立，不存在相关性； （2）各个周期服从的概率分布均相等，不存在差异性； （3）金融投资市场基本稳定，公司收益额的总体概率走势不会因投资额的改变而发生剧烈变化，并且影响收益额的其他因素在本文研究的较长时期内不发生变化； （4）题中给出的255个交易日的收益额为随即抽样样本，基本上可以认为能够充分反映该公司一年的整体收益情况； （5）各种风险资产之间没有一定的关联性。 四、符号系统 ：投资中的初始投资额； ：第i 种收益在样本中的天数； ：在样本中第i 种收益的值，分别取-30，-29，……32,33； ：概率密度函数； ：给定置信区间内的一个特定持有期内的最大可能损失。