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第一章 波浪理论 1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设? 【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度ρ为一常数； （2）流体是无粘性的理想流体； （3）自由水面的压力均匀且为常数； （4）水流运动是无旋的； （5）海底水平且不透水； （6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计； （7）波浪属于平面运动，即在xz水平面内运动。 1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。 【答】：波浪运动基本方程是Laplace方程：或写作：。该方程属二元二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件： 初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。 边界条件： （1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即 或写为在z=-h处， （2）在波面z=η处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件 A、动力边界条件 由于含有对流惯性项，所以该边界条件是非线性的。 B、运动边界条件，在z=η处 。该边界条件也是非线性的。 （3）波场上下两端面边界条件 其中c为波速，x-ct表示波浪沿x正向推进。 1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。 【答】：微幅波理论的基本方程为： 定解条件：z=-h处， z=0处， z=0处， 求解方法：分离变量法 1.4 线性波的势函数为， 证明上式也可写成 【证明】： 由弥散方程：以及波动角频率和波数定义: , 可得：， 即 由波速的定义： 故： 将上式代入波势函数： 得： 即证。 1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度, 并绘出相位=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及 相位=0, ,和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布. 解：(1)证明: 已知势函数方程 则 其中: , . 同理: (2) 自由表面时z=0，则, 质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-?t 图.1 相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z由-h到0。 当=0时,曲线见图.2 当=???时,曲线见图.3 当=??时,曲线见图.4 当=3???时,曲线见图.5 当=???时,同图.2 1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T和水深h计算波长，波速和波数的程序，并计算T=9s，h分别为25m和15m处的波长和波速。 解：该程序用c++语言编写如下： #include iostream.h #include math.h const double pi=3.1415926,g=9.8; void main( ) { double x0,x,L,k,c,h; int i,T; coutplease input T and h\nT=; cinT; couth=; cinh; x0=1.0e-8; x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0)); for(i=1;(fabs(x-x0)1.0e-8);i++) { x0=x; x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0)); } L=2*pi*h/x; k=2*pi/L; c=L/T; coutL=L\nk=k\nc=cendl; } 运算可得 当T=9s,h=25m时,L=111.941m,c=12.4379m/s 当T=9s,h=15m时,L=95.5096m,c=10.6122m/s 1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。 【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为： 式中为水平长半轴，b为垂直短半轴。 在深水的情况下，即h→无穷大， 有：， ， 那么，水平长半轴 垂直短半轴 所以当水深无限深时，长半轴a与短半轴b相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。 1.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为 【证明】： 单位水柱体内的平均势能 其中: = 单位水柱体内的平均动能 其中: = 1.9 在水深为20m处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度z=-2m,-5m,-10m处水质点轨迹直径. 【解法1】：由弥散方程： , 利用题1.6可得L=38.8m k=0.162m-1 h/L=20/38.8=0.5150.5 为深水波