活跃在高考中的特殊函数..doc

活跃在高考中的特殊函数 　　函数是中学数学的主轴内容，也是历年高考“经久不衰”的重点、难点和热点内容.各级各类考试命题者为了命好函数题而绞尽脑汁，挖空心思，所编制的函数题超凡脱俗，新颖别致，颇具思考性和挑战性.其中以特殊函数为背景的函数题更是频频“闪亮登场”，常处于压轴题的地位，充当把关题的“角色”.下面将活跃在高考中的几种特殊函数分类列举，并结合典型例题予以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法. 　　1.单位跳跃函数与符号函数 　　【例1】(2004年武汉市高考模拟题)已知H(x)=称为单位跳跃函数，Sgn(x)=称为符号函数. 　　(1)画出y=H(x-2)+1的图像； 　　(2)画出y=H[Sgn(x2-x-2)]的图像； 　　(3)求证：Sgn(x)=H(x)-H(-x). 　　　(1)y=H(x-2)+1=即y=H(x-2)+1= 　　∴y=H(x-2)+1的图像如下图所示： 　　 　　(2)∵Sgn(x2-x-2)= 　　∴H[Sgn(x2-x-2)]= 　　∴y=H[Sgn(x2-x-2)]的图像如下图所示： 　　 　　(3)当x＞0时，Sgn(x)=H(x)=1，H(-x)=0； 　　当x=0时，Sgn(x)=0，H(x)=H(-x)=1； 　　当x＜0时，Sgn(x)=-1，H(x)=0，H(-x)=1. 　　综上所述，Sgn(x)=H(x)-H(-x). 　　【例2】(2004年南昌市高考模拟题)定义符号函数Sgnx=则不等式x+2＞(2x-1)Sgnx的解集是_____. 　　　原不等式等价于①或②或③ 　　由①得，0＜x＜3；由②得x=0；由③得＜x＜0.综合①②③得，原不等式的解集为{x|＜x＜3}. 　　2.凸函数 　　【例3】(2004年济南市高考模拟题)若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f()，则称f(x)为D上的凸函数.现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是(　). 　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D. 　　　在△ABC中，A,B,C∈(0,π)，由凸函数的定义，知(sinA+sinB+sinC)≤sin， 　　∴sinA+sinB+sinC≤3sin. 　　即sinA+sinB+sinC的最大值为.故应选C. 　　3.凹函数 　　【例4】(2004年南京市高考模拟题)定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有，则称函数f(x)是R上的凹函数. 　　已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R，a≠0)， 　　(1)求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数； 　　(2)如果x∈[0,1]，|f(x)|≤1，试求实数a的取值范围. 　　　(1)对任意x1，x2∈R，∵a＞0， 　　∴[f(x1)+f(x2)]-2f()= 　　　 　　∴f()≤[f(x1)+f(x2)]. 　　∴函数y=f(x)为凹函数. 　　(2)由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1 　　当x=0时，a∈R， 　　当x∈(0,1]时，恒成立. 　　即 　　∵x∈(0,1]，∴≥1. 　　∴当=1时，取得最大值-2； 　　当=1时，取得最小值0. 　　∴-2≤a≤0，注意到a≠0，∴-2≤a＜0. 　　故所求实数a的取值范围为[-2,0). 　　4.取整函数 　　【例5】(2004年郑州市高考模拟题)阅读下列文字，然后回答问题： 　　对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数.在实数轴R(箭头向右)上，[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时，[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，也叫做高斯(Gauss)函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.例如当您在学习和使用计算器时，在用到的算法语言中，就有这种取整函数. 　　从[x]的定义可得下列性质：x-1≤[x]≤x≤[x+1]. 　　与[x]有关的另一个函数是{x}，它的定义是{x}=x-[x]，{x}称为x的“小数部分”，这也是一个很常用的函数. 　　(1)根据上文可知：{x}的取值范围是______；[-5.2]=______. 　　(2)求[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21024]的和. 　　　(1){x}的取值范围是[0,1)，[-5.2]=-6. 　　(2)∵ 　　∴原式=0+1·(22-2)+2·(23-22)+…+9·(210-29)+10=1×2+2×22+…+9×29+10. 　　令S=1×2+2×22+…+9×29， 　　则2S=1×22+2×23+…+9×210. 　　两式相减得