浅谈多项式因式分解..doc

《浅谈多项式因式分解》提纲 多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分.在运算，解方程等方面都有极其广泛的应用.本文将给出一元多项式在实数范围内因式分解的几种常见的方法. 1 定义及定理 2 分解因式的方法 2.1 提公因式法 2.2 公式法 2.3 十字相乘法 2.4 分组分解法 2.5 求根公式法 2.6 换元法 2.7 待定系数法 结束语 ? 揭阳职业技术学院 毕 业 论 文 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题 目： 浅谈多项式因式分解 　　　　　　　　 学生姓名　 林洵子 　 　 指导教师　 黄耀俊 系（部）数学与计算机科学系 专 业 数学教育 班　　级　 072班 学 　号 提交日期 20 年 月 日 答辩日期 20 年 月 日 20 年 月 日  浅谈多项式因式分解 摘 要 多项式因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.本文将给出一元多项式因式分解的几种常见的方法.如提公因式法，公式法，分组分解法等等.分析了这些方法的特点，给出具体实例. 关键词：因式分解 多项式 分组分解  引言 多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分.在运算，解方程等方面都有极其广泛的应用.本文将给出一元多项式在实数范围内因式分解的几种常见的方法. 1 定义及定理 定义1 设是一个数域，是一个文字（或变量），形式表达式 其中，是非负整数，称为数域上关于的一元多项式，通常记为，在中称为的第项，称为次项系数.（） 定义2 给了的任何一个多项式，那么的任何不为零的数都是的因式。另一方面，与的乘积也总是的因式.我们把的这样的因式叫做它的平凡因式. 定义3 令是的一个次数大于零的多项式.若是在只有平凡因式，就说是在数域上（或在中）不可约.若是除平凡因式外，在中还有其它因式，就说是在(或在中)可约. 定义4 把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 多项式的唯一分解定理：数域上每一个次数的多项式 都可以唯一地分解成数域上一些不可约的多项式的乘积. 多项式的标准分解式：数域上每一个次数1的多项式都有唯一标准分解式 其中为的首项系数，是数域上首项系数为1的互不相同的不可约多项式，是正整数. 在对一个多项式进行因式分解时，我们首先要讨论这个多项式到底要分解到什么程度，其依据就是以上给出的多项式的唯一分解定理和多项式的标准分解式. 2 分解因式的方法 2.1 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式化成两个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 具体方法：当各项系数都是整式时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，取相同的多项式的次数取最低的. 例1 分解因式 解：原式 = = 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出负号，使括号的第一项的系数化成正数，提出负号时，多项式的各项都要变号. 例2 分解因式 解：原式 = 注意：提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同. 口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶. 2.2 公式法 如果把乘法公式反过来，某些多项式满足特殊公式的结构特征，就可以将这些多项式进行因式分解，这种分解因式的方法叫做公式法. 常用因式分解公式有： 平方差公式： 立方差公式： 完全平方公式： 其中公式中的和都可以表示任何一个代数式，凡是具备公式左边的结构特征的代数式都可以按照公式分解为右边的形式，达到因式分解的目的.灵活运用这些公式就可以把一些代数式因式分解. 2.2.1 平方差公式 (1) 平方差公式的左边是一个二项式且两项异号，即为两个数（或式）的平方差； (2) 右边则是这两个数（或式）的和与这两个数（或式）的差的积. 例3 分解因式 解： 原式 = = = 例4 计算 解： 2.2.2 完全平方差公式 (1) 公式的左边是一个三项式，首末两项总是平方和的形式，中间项的符号有正有负，当为正号（负号）时，右边的两项式中间符号为正（为负），中的“”是一个固定的常数； (2) 公式的右边是两数和或差的平方形式； (