浅谈正态分布的性质及其应用..doc

概率论与数理统计 课程论文 浅谈正态分布的性质及其应用 姓名：林君泓 班级：1008106 学号：1100800130 学院：机电工程学院 摘要： 正态分布是许多统计方法的理论基础 浅谈正态分布的性质及其应用 正态分布是一个具有神秘色彩的分布。我们知道，对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布。也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态。对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常。这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布。还有一个角度，如果有若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况。这是反向推导的过程。 一、正态分布的概念 1、正态分布(normal distribution) 又称Gauss分布或常态分布，是一种最重要的连续型分布。正态分布曲线是高峰位于中央，两侧逐渐下降，左右对称，永远不与横轴相交的曲线。 二、正态分布的特征服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。 也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。P(μ-σX≤μ+σ)=68.3% P(μ-2σX≤μ+2σ)=95.4% P(μ-3σX≤μ+3)=99.7% 三、正态分布的应用 （一）高考填报志愿 高考后，考生填报志愿时，下列两个问题就显得很重要：(1)高考后(或前)希望能准确估计自己的标准分和“百分位”(百人中所处的位置)；(2)希望从考生手册中。往年高校第一志愿实际录取的最高、最低、平均分三个数据获取更多更准确的信息。不以人们意志而转移的统计规律——正态分布理论，就可以帮助我们估计，实现这两个目的。 一个学校在正常情况下，同类考生都有一、二百人以上规模，这已经算大样本容量了。只要教学和考试秩序正常，些成绩与全省同类考生的成绩就必然表现出正态分布的征。我们还知道影响本届考生成绩的敏感因素还有试卷难等，个别考生也许会发挥异常，但一个学校一、二百个以上生成绩．在全省众多同类考生中．因考试(统计学称为试条件相同引起的异常波动却是很小的，就是说，一个学校、二百个以上考生成绩在全省里面有较高相对稳定性。所，只有把每一个考生考后所估比较真实的成绩放在整个学，以大样本来分析才能保证用总体正态的特征来判断考生绩所处位置的科学性。 这里以1998年西安电子科大在福建实录第一志愿40名考生为例，当时最低、最高、平均分分别是634、714、660分，现计算分析如下： 把[634，714]隔10分分为8个段．把分点换算为实际标准分； X0=(634—500)／100=1．34．Xl=1．44……x8=2.14 查标准正态分布表算出大“曲边梯形”面积： S=Φ(0.24)-Φ(1.23)=0.07394 查标准正态分布表算出8个小“曲边梯形”面积： S=Φ(1.44)一Φ(1.34)=0.01519 S1=0.01315，S2=0.00128．S3=0.00957， S4=0.00805， S6=0.00669． S7=0.010551， S8=0.00450 (4)算出落在8十分数段的(理论)录取人数40Si／S。要注意的是，根据标准正态分布的特征．8个数据40Si／S。均应采用去尾法．所得整数作为所估实录人数，但考虑到最高分数段录取人数往往手步一人．所以如果最高分数段录取人数出现040Sal，则要令40S8=1；次高分数段也类似处理；最低分数段以外的各段录取人数之和去减录取总人数所得的差就作为最低分数段录取人数。 （二）胜负预测 胜负的比较，如果能够通过“发挥出来的水平”的“得分”计算的话，就可以使用正态分布进行处理了。这里稍微解释一下什么叫通过“发挥出来的水平”的“得分”