浅谈泛函分析控制学科的运用..docx

浅谈泛函分析在控制学科的运用姓名： 班级： 学号：一、写在前面：学生所学专业为控制科学与工程，开学初选课之际，结合个人兴趣和老师的意见，选了现代数学基础（《应用泛函分析》）作为其中一门数学学位课，另外也选修了《线性系统理论》和《非线性控制》这两门专业课。选课之际，同学们纷纷以泛函难学为由避之不及，但是数学作为科研和工程实践中必不可少的重要工具，我认为再硬的骨头也要啃下来。在半学期的接触和学习下，我渐渐地觉得泛函并没有想象中那么晦涩。一是因为难度大，没把握自学掌握，所以上课专心听讲，生怕漏掉什么，二是结合专业课程的学习，发现本专业中的理论和实践中泛函分析得到了很广泛的运用（最优解的逼近，非线性控制中输入输出稳定性的研究等），故在数学学习的过程中能够有所结合具体学科运用，反而觉得有趣。借着老师布置的报告作业，自己也梳理一下泛函与专业之间的联系，并通过查阅相关资料，对泛函能有更深刻的了解，希望在以后的学习当中能够运用好这个工具。本文主要从以下几点进行说明：结合个人所学和参考文献，谈谈泛函分析与控制理论的联系；结合第四章所学内积空间中的投影定理谈谈其在最优逼近的应用结合第二章所学度量空间的Banach压缩映像原理和不动点的概念简单谈谈在方程求解中的应用；二、泛函分析与控制：泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义：是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。控制科学与工程是一门研究控制的理论、方法、技术及其工程应用的学科。它是20世纪最重要的科学理论和成就之一，控制科学以控制论、信息论、系统论为基础，研究各领域内独立于具体对象的共性问题，即为了实现某些目标，应该如何描述与分析对象与环境信息，采取何种控制与决策行为。那泛函分析与控制专业的联系在哪？根据《控制论与科学方法论》中谈到，所谓的控制，便是研究确定事物发展的可能性空间，并通过一定的人为干预把可能性空间锁定或者缩小到期望的范围。如室内温度控制，室温的可能性空间在某个区间内，在各种因素作用下会在可能性空间中运动变化，而把温度控制在指定温度或指定温度范围内，就是通过人为干预，把室温变化的可能性空间缩小在指定范围内（如18°—22°），这边是控制的基本思想。控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是指对系统的控制。对系统的研究，主要有研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系，既是对系统进行分析和综合，以按照期望的性能和方式对系统进行控制。然而，不管对系统进行分析还是综合，首要前提就是建立起系统的数学模型（如表征系统输入输出关系的传递函数、表征系统内部信息的状态空间描述等），对系统的主要属性进行数学描述，利用适当的数学工具对系统属性间的关系进行定量描述和分析。随着控制理论的发展，所用的数学工具也随着变化。可以说，具体学科的发展为数学的发展提供了素材，而数学的发展，也为具体学科的发展提供了更为有力的工具。控制科学作为具体的工程科学，基本的研究对象是自然界的物理系统。所谓物理系统（包括社会经济系统）的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述，以及运动轨线即微分方程解的存在性与唯一性问题，而且讨论连续运动过程的稳定性问题，并给出自由运动或受迫运动中运动轨线的求解方法，这种运动也只具有限多自由度，在电学理论和经典控制原理中，一种广泛适用的频域分析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象，一般也只具有限多自由度。而如今现代控制理论，已经由研究单个特定函数作用于系统时所产生的行为，扩展到研究一类函数作用于系统时可能产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间同样具无限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可用来描述系统的行为