浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理..docx

摘 要伴随漫长的解方程历史探索中，数学家得出一元多次方程解与次数关系的代数学基本定理，一直以来，学者们给出了不同的方法来证明这个定理。代数学基本定理在代数学中占有非常重要的地位，这篇论文将叙述代数学基本定理的内容，并用复变函数理论中的刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理、柯西定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。关键词：代数学基本定理； 辐角原理； 最大模原理； 最小模原理 AbstractWith a long history of exploration in the solution of equations, mathematicians come to a dollar many times the relationship between the number of equations and the fundamental theorem of algebra, has been, have given different ways to prove the theorem. Fundamental theorem of algebra in the algebra plays a very important position, this paper will describe the contents of the fundamental theorem of algebra and complex function theory with the Liouville theorem, Confucianism break theorem, argument principle, maximum modulus principle, the minimum Modulus principle, residue theorem, Cauchys Theorem to prove the fundamental theorem of algebra, and the proof are described, compared and summarized.Keywords：Fundamental theorem of algebra; Argument principle; maximum modulus principle; minimum modulus principle目 录前言11代数学基本定理的第一种陈述方式的证明11．1利用刘维尔定理证明11.1.1刘维尔定理11.1.2 证明过程11.2利用最大模定理证明21.2.1最大模原理21.2.2 证明过程21.3利用最小模定理证明31.3.1最小模原理31.3.2 证明过程31.4利用柯西定理证明41.4.1柯西定理41.4.2 证明过程42代数学基本定理的第二种陈述方式的证明52.1利用儒歇定理证明52.1.1儒歇定理52.1.2 证明过程62.2利用辐角原理证明62.2.1辐角原理62.2.2 证明过程62.3利用留数定理证明72.3.1留数定理72.3.2 证明过程8参考文献9致谢9浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理前言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位。代数学基本定理的第一种陈述方式为：“任何一个一元次多项式在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元次多项式在复数域内有个根，重根按重数计算”，这两种陈述方式实际上是等价的。此定理若用代数的方法证明，有些将是极其复杂的。但是，如果我们将复数域理解为复平面，将的根理解为它在复平面上的零点，那么我们就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种，本文提出几种证明方法，其中个别方法在常见的复变函数的教材中已有涉及，如用刘维尔定理和儒歇定理证明代数学基本定理，但仍是有一些方法在复变函数教材中并未涉及。本论文将对利用复变函数中的相关定理证明代数学基本定理作进一步的探讨。1代数学基本定理的第一种陈述方式的证明1.1利用刘维尔定理证明1.1.1刘维尔定理刘维尔定理：有界整函数必为常数。证明：是有界整函数，即，使得，,,在上解析令，可见，，从而在上恒等于常数。1.1.2 证明过程假设在平面上无零点令为整函数且当时，对而言，是整函数又在上有界由刘维尔定理：为常数，与不是常数矛盾一元次方程在内至少有一个根。刘维尔定理应用非常广泛。用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来。它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助函数，由为整函数且在上有界，得到为常数，这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一