浅谈考试成绩的差异显着性分析..doc

浅谈考试成绩的差异显著性分析 韶关市第十一中学 杨铁荣 内容提要：本文尝试运用数理统计学中的显著性检验的基本思想=60*[（50-20）/50]/[(200-100)/200]=72，这是不科学的，也没有什么意义。 2.1 样本均值与总体均值差异显著性检验（U检验） 要检查班级之间成绩是否相差太大，目的并不是要排出名次，可以采用U检验（有些文章也称Z检验，在ecxel软件中，相应的变量也是Z。为避免与下文混淆，只有总体方差未知，本文方用Z检验，且二者计算不同，故此不用此名称）。U检验的条件是：已知（或可以求出）样本均值、样本容量与总体均值、总体的标准差，可能采用U检验进行两均值异显著性检验。 统计学认为，不论x变量（考试分数）是连续型还是离散型，也无论x服从何种分布，一般只要样本容量（考试人数）n＞20，就可认为平均值的分布是正态的，，则，服从标准正态分布，这就是进行U检验的理论依据。U检验主要步骤如下： 第一步，建立虚无假设，即先认为两者没有差异，用 ，其中， （a）=（为该班每一个学生的分数）是要检验班的平均分，excel软件的公式为：=AVERAGE(该班的成绩区域)； （b）=（为年级每一个学生的分数）是年级平均分，excel软件的公式为：=AVERAGE(年级的成绩区域)； （c）为标准误，年级标准差，计算公式是= excel软件的公式为：=STDEV(年级的成绩区域)； （d）n为该班人数，excel软件的公式为：=COUNT(该班的成绩区域)。以上的数据均由学生考试成绩表统计得到。 从u统计量式子中我们看到，在两个平均分的差值进行标准化过程中，u值要受到年级标准差σ该班人数n影响。一般而言，就一次考试中n相对稳定，经开方后值更小，影响不大；而u值与σ成反比，换句话说，年级中各人成绩离散程度越大，两个平均分差值的差异就越不显著。 第三步，设定显著水平ɑ，查表或计算接受域 检验前必须设定显著水平ɑ，这是一个小概率数值，经常会选择ɑ=0.05，此时置信度1-ɑ=0.95，也即检验的结果有95%可靠性，有5%的不可靠，这个误差可能是由于偶然性造成的在许多研究领域，0.05通常被认为是可接受错误的边界水平。=NORMSINV(0.975)，回车后得1.959963985，一般取近似数1.96。由于图像对称性，确定的置信区间为(-1.96，1.96)，以这个区间为接受域。若令ɑ=0.01，则接受域(-2.578，2.578)。 第四步，观察统计量u值是否落在接受区域，由此对样本均值与总体均值作出显著性差异判断。如果u统计量在置信区间 (-1.96，1.96)内，接受H0，差异不显著非常显著，所以无显著性差异。有些人认为相差5分就差很多，看来也是不科学的。 2.2 标准分的计算 由于标准分是综合个体与总体分数排位等因素计算而来，因此标准分本身是经过差异分析得到的数值。值得一提的是，在计算高考或中考标准分中，excel的NORMSINV函数作用非常大，不用查标准正态分布表，而且数值十分精确。换算公式T=100Z+500，其中Z=NORMSINV(Pi)， Pi为某名次以下的人数占考生总数的百分比NORMSINV(9999/10000)+500872。 2.3班、级的及格率、优秀率的检验 在成绩分析时，及格率、优秀率也可以像平均分一那样进行显著性差异检验，那么这两项该如何进行呢？难点在于标准差怎么求。 其实，从公式看：平均分、及格率、优秀率三个数据的分母均为考试人数，三者均为平均值。平均分是每个人的分数之和/考试人数，由于每个人都会有一个分数，直接相加可得。那么及格率呢？表面看是及格率=及格人数/考试人数，在计算时，其实将每个人分数稍作处理：将达到及格的分数改为1，没达到的改为0，excel软件中可用公式=if（Ai=60,1,0）及填充柄下拉简单得到，Ai为每个原始分数所在单元格，然后对转换后的数据求平均值（即及格率）与标准差了。然后把班、级的及格率代入u统计量式子中计算u值。优秀率也用相方法处理即可。 例2．乙班某次考试成绩如下： 87 64 71 81 75 72 87 46 54 61 50 42 65 50 79 72 43 68 64 64 60 48 87 48 52 56 54 50 48 62 92 70 82 53 82 73 75 72 68 70 求此次考试的及格率及对应的标准差。 解：按及格分数为1，不及格分数为0转换后为： 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 可以求出这组数据的平均值即及格率为=26/40=65%，标准差为S==0.483。 年级的