浅谈高三数列之【几个字母取整问题】..doc

浅谈：上海高三数列----取整问题、整除问题、奇偶分析 从12、13、14年开始，我们慢慢发现，一模、二模中的数列大题，变成了几个字母的取整问题、整除问题、奇偶分析，其实这大可不必惊讶，初等数论也是我们高中数学的一部分，只是我们没有在平时的教学区涉及和研究罢了，有时我时常想，高考的压轴题，它就是一种时尚，它的流行总是在变，面对这些，我们要做的，只是未雨绸缪，把能做的，该学的，做到位，在上“战场”前做好一切的准备；下面，我就来简单的谈谈，数列中的数论问题。 我先来介绍上海高三一些区模考试卷的题，让大家了解下： 例1：设，等差数列中，记=令，数列的前n项和为求的通项公式和；求证：；是否存在正整数且使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由设数列的公差为，由,.解得，=3 ∵， ∴Sn==. （2） ∴ ∴ （3）由(2)知， ∴，成等比数列 即当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意； 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解； 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解； 当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列 （3）由(2)知， ∴， ∵成等比数列 ， 取倒数再化简得 当时，，=16，符合题意；， ， 所以，此时不存在正整数mn , 且1mn,使得成等比数列综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列的前项和记为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求和； （3）设有项的数列是连续的正整数数列，并且满足： ． 问数列最多有几项？并求这些项的和． 答案：（1）；（2）；（3）最多有9项，并且首项为3，。 我们来分析下第三问：由于是连续的正整数数列，不妨假定首项，依次类推： ； 所以：； 故：（3）可化简为：，再利用上面的例题方法，可用来表示，得： ，故可轻易判断，当时，有最大为9； 我们继续学习，再往下看例题： 例3：设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，． （1）求、的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，得， 即 ，解得 ． （2）由（1）知， ① 当时， ② ①－②，得（），又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以的通项公式为（）． （3）由（2），得， 由，得，即， 即．因为，所以， 所以且， （*） 因为，所以或或． 当时，由（*）得，所以； 当时，由（*）得，所以或； 当时，由（*）得，所以或或． 综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为： ，，，，，． 总结：我们由第三问可以得到，讨论也是要先整理、先化简得，当然还可想更多的，若此题第三问把不等式改为等式我们也要懂得处理，尤其是与2的指数有关的取整问题； 比如：若为正整数，或，你会发现变成了很好求得解； 再比如：，这是我们初中学习的因式分解； 例如： 已知数列满足，λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列的前项和 (1) 若，求的值； 2) 求数列的通项公式； 3) 当时，数列中是否存在三项构成等差数列，若存在，求出；若不存在，请说明理由解：． (2) (3) 因为 所以 假设数列中存在三项成等差数列①不防设?()?4k–2 = ?4m–2 + ?4p–2，化简得：2?4k - p = 4m–p+1 即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1， 故有：m=p=k，和题设矛盾 ②假设存在成等差数列的三项中包含时不妨设且?()?4p–2 = – + ()?4k–2，所以2?4p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1 因为k p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立 因此，数列中存在或成等差数列–4 = 22k–5 – 1，只好让；从而破解！ 例4：已知数列{bn}的通项公式为, 判断数列{bn}中是否存在三项成等差数列？若存在写出一组满足条件的三项, 若不存在说明理由. 处理该类问题，一般都假设存在，然后找出对应关系，再判断. 解析：假设存在三项（不妨设rst）成等差数列, 则有等式：即, 化为, 显然上式的右端可以被3整除, 而等式的左端不能被3整除, 所以数列不存在三项成