离散数学十一节..ppt

第十一章 格与布尔代数 主要内容 格的定义及性质 子格 分配格、有补格 布尔代数 11.1 格的定义与性质 定义11.1 设S, ?是偏序集，如果?x,y?S，{x,y}都有最小上 界和最大下界，则称S关于偏序?作成一个格. 求{x,y} 最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧， 实例：子群格 例3 设G是群，L(G)是G 的所有子群的集合. 即L(G) = { H | H≤G }， 对任意的H1, H2∈L(G)，H1∩H2是G 的子群，H1∪H2是由 H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小子群）. 在L(G)上定义包含关系?，则L(G)关于包含关系构成一个 格，称为G的子群格. 在 L(G)中， H1∧H2 就是 H1∩H2 H1∨H2 就是 H1∪H2 格的性质：对偶原理 定义11.2 设 f 是含有格中元素以及符号 =,? ,? ,∨和∧的命题. 令 f*是将 f 中的?替换成?,?替换成?,∨替换成∧,∧替换成∨ 所得到的命题. 称 f* 为 f 的对偶命题. 例如, 在格中令 f 是 (a∨b)∧c?c, f*是 (a∧b)∨c?c . 格的性质：算律 定理11.1 设L, ?是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、 幂等律和吸收律, 即 (1) ?a,b∈L 有 a∨b = b∨a, a∧b = b∧a (2) ?a,b,c∈L 有(a∨b)∨c = a∨(b∨c), (a∧b)∧c = a∧(b∧c) (3) ?a∈L 有 a∨a = a, a∧a = a (4) ?a,b∈L 有 a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a 证明 (1) a∨b是{ a, b }的最小上界, b∨a是{ b, a }的最小上界. 由于 { a, b } = { b, a }, 所以 a∨b = b∨a. 由对偶原理, a∧b = b∧a. 证明 (3) 显然 a ? a∨a, 又由 a ? a 可得 a∨a ?a. 根据反对称性有a∨a = a . 由对偶原理, a∧a = a 得证. (4) 显然  a∨(a∧b)? a (5) 由 a ?a, a∧b ? a 可得 a∨(a∧b) ?a (6) 由式(5)和(6) 可得 a∨(a∧b) = a, 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 格的性质：序与运算的关系 定理11.2 设L是格, 则?a,b∈L有a ? b ? a∧b = a ? a∨b = b 格的性质：保序 定理11.3 设L是格, ?a,b,c,d∈L，若a ? b 且 c ? d, 则 a∧c ? b∧d, a∨c ? b∨d 格作为代数系统的定义 定理11.4 设S,?,?是具有两个二元运算的代数系统, 若对于 ?和?运算适合交换律、结合律、吸收律, 则可以适当定义S中 的偏序 ?,使得 S,? 构成格, 且?a,b∈S 有 a∧b = a?b, a∨b = a?b. 证明省略. 根据定理11.4, 可以给出格的另一个等价定义.? 子格及其判别法 11.2 分配格、有补格与布尔代数 定义11.5 设L,∧,∨是格, 若?a,b,c∈L,有 a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)   a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格. 注意：可以证明以上两个条件互为充分必要条件 分配格的判别及性质 定理11.5 设L是格, 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格 或五角格同构的子格. 证明省略. 推论 (1) 小于五元的格都是分配格. (2) 任何一条链都是分配格.? 例6 说明图中的格是否为分配格, 为什么？ 有界格的定义 定义11.6 设L是格, (1) 若存在a∈L使得?x∈L有 a ? x, 则称a为L的全下界 (2) 若存在b∈L使得?x∈L有 x ? b, 则称b为L的全上界? 说明： 格L若存在全下界或全上界, 一定是惟一的. 一般将格L的全