(第6章教案.docVIP

历史背景 没有任何东西比几何图形更容易引入脑际，因此用这种方式表达事物是非常有益的． ----笛卡儿 算数符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式． ——希尔伯特 “数学王子”——高斯 高斯（1777~1855)是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称．他幼年时就表现出超人的数学天才，十岁时计算从1到100连续100个自然数之和采用的速算法，一直被传为佳话．1795年他进入格丁根大学学习，第二年他就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题． 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献．他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理．高斯的数论研究总结在《算数研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一．高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径．1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统的阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论．高斯的曲面理论后来由黎曼发展．高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来．其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等． 1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势计算技巧．那年元旦，有一个后来被认为是小行星并被命名为谷神星的天体被发现，当时他好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道．高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置．高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳话值的方法),在天文学中这一成就立即得到公认．他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求．高斯在小行星“智神星”方面也获得类似的成功．由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果，他被选为许多科学院和学术团体的成员．“数学王子”的称号是对他一生恰如其分的赞颂． 在一元函数积分学中，我们从求曲边梯形面积这类问题入手，通过分割、近似、求和、取极限四个步骤归结出求一元函数的定积分问题．这种方法的基本思想同样可以推广到二元函数中，从而建立二重积分的概念．本章将介绍二重积分的概念、计算以及应用． 6.1二重积分的概念与性质 6.1.1引例 1.曲顶柱体的体积 设有一个立体，它的底面是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶部是定义在D上的二元函数z=f（x，y）所表示的连续曲面，并设f（x，y）0．这种柱体叫做曲顶柱体（如图6-1所示）．现在我们来求曲顶柱体的体积（如图6-2所示）：把区域D任意分成n个小区域,···，，它们的面积分别记作（k=1，2，···，n），于是以为底可以作出n个小的曲顶柱体，设小曲顶柱体的体积为．在每个中任意取一点，则用以为底、f（，）为高的小平顶柱体的体积近似代替，即f（，）,则原来的曲顶柱体的体积V（，）．当n且小区域的最大值径0时，和式的极限如果存在，此极限值就是所求曲顶柱体的体积，V= （，）． 2.平面薄板的质量 设有（如图6-3所示）质量非均匀分布的平面薄板，在xOy面上所占的区域为D，它的面密度为（x，y），其中（x，y）在D上连续，求薄板的质量． 将区域D任意分成n个小区域，···，，它们的面积分别记作（k=1，2，···，n），在上任意取一点，该小区域对应的质量 ，薄板的质量m．当n且小区域的最大直径0 图6-1 图6-2 时，和式的极限如果存在，次极限值就是所求平面薄板的质量，即m= ． 6.1.2二重积分的定义 把上述体积问题以及许多类似的问题经过抽象，就形成二重积分的概念． 定义1 设z=f（x，y）为区