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第六章 数理统计的基本概念总述 内容 提要 本章主要讲述样本，总体，参数与参数空间；直方图与经验分布函数；统计量，分布，分布和分布；分位数；正态总体的抽样分布等内容． 重点 分析 理解总体、个体、样本和统计量的概念。 了解直方图的作法。 掌握样本均值、样本方差的计算。 了解分布、分布、分布的定义，并会查表计算。 了解分位数的概念，并会查表计算。 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 难点 分析 统计量、分位数的概念 分布、分布、分布的定义与性质。 正态总体的抽样分布。 习题 布置 习题6 备注 第 19 次教案 §6.1 样本和总体 一、 样本 数理统计的研究对象是受随机性影响的数据，这些通过观察或试验得到的数据称为样本或子样，这些观察或试验过程称为抽样例如用同一架天平称某重物次，得到一组个数据 （6.1） 就称它们是一个样本，其中称为样本容量。每个容量为的样本都可称为维空间的一个点，样本所有可能的取值构成了维空间的一个子集，称为样本空间，记作．注意“数据”一词在这里是广义的。它可以是实数值，例如表示称得某重物的重量；也可以是事物的属性，例如=“正品”，（或“废品”）等等，通常为了方便研究，也常将这些属性数量化，例如用“ｌ”表示“废品”，“０”表示“正品”，当然这不是本质的问题。有时数据也可以是一组向量，例如武器试验中给出一组弹着点的坐标 即为二维向量的一组样本，在多元统计分析中，将专门研究这种情形。对于样本需要强调两点： ａ）样本并非一堆杂乱无章无规律可循的数据，它是受随机性影响的一组数据，因此，用概率论的话说，就是每个样本既可以视为一组数据，又可视为一组随机变量，这就是所谓样本的二重性。当通过一次具体的试验，得到一组观测值，这时样本表现为一组数据；但这组数据的出现并非是必然的，它只能以一定的概率（或概率密度）出现，这就是说，当考察一个统计方法是否具有某种普遍意义下的效果时，又需要将其样本视为随机变量，而一次具体试验得到的数据，则可视为随机变量的一个实现值。今后为行文方便，我们常交替使用上述两种观点来看待样本，而不去每次声明此处样本是指随机变量还是其实现值，同时一律采用记号（6.1）来表示它。 ｂ）样本（6.1）也不是任意一组随机变量，我们要求它是一组独立同分布的随机变量。同分布就是要求样本具有代表性，独立是要求样本中各数据的出现互不影响，就是说，抽取样本时应该是在相同条件下独立重复地进行。如 Example6.1 设一组抽奖券共10000张，其中有5张有奖。问连续抽取3张均有奖的概率为多少？ 为了讨论这个问题，不妨设 要求该事件的概率，实际上即是求联合概率分布 在处的值。但题中没有说明“连续抽取”是“有放回的”还是“无放回的”，我们不妨都计算一下： （ⅰ）无放回时： （ⅱ）有放回时： 显然（ⅰ）中的抽样方式不是独立的，每次抽样的结果都将影响下一次抽样的分布，这种抽样不是我们通常研究的抽样。而（ⅱ）中的抽样，则是多次独立的抽样，它们是同分布的，即我们通常称为的随机抽样。这样得到的数据，即是我们常研究的简单随机样本，或就直接称为样本。由此可以看出，对于样本（5.1），如果每个的共同分布为，则样本（6.1）的分布为 （6.2） 相应地，若有共同概率密度，则（5.1）的概率密度为 （6.3） 二、 总体 总体或母体在许多教科书上通常被定义为研究对象全体的集合。其含义是，我们观察到的样本总是由某个具体事物产生，并反映该事物的特征，这时，可以把样本视为一些被抽取的该事物的个体，而将该事物本身视为所有个体的集合即总体。但这样说多少有点模糊。如在例5.1中，我们自然可以将10000张抽奖券视为总体，但如果是用一架天平去重复称同一重物，得到重物的重量，在这种事中，什么是研究对象的全体呢？因此，我们宁愿采用另一种说法，即总体是一个随机变量，它的分布即为（6.1）中每个的共同分布，或者可以看作样本容量时的样本的分布。用这个观点叙述一些问题就显得很方便，例如样本（5.1）就可视为由总体独立“拷贝”出来的同分布的个随机变量。又如 Example6.2 用两台车床车同一批产品，分别车及件，尺寸为及这时，我们得到的样本是 ， （6.4） 它们显然通常不会是同分布的，但这种样本在我们的研究中经常出现。为此我们用总体的观点，可以很方便地视它为出自两个总体，的样本。有了总体