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第九章 柱体的扭转 知识点 扭转位移假设 扭转应力函数 薄膜比拟 薄膜等高线与切应力 椭圆截面切应力 矩形截面柱体的扭转 矩形截面柱体扭转切应力 开口薄壁杆扭转 局部切应力 扭转翘曲函数 扭转边界条件 扭转应力函数描述的边界条件 薄膜垂度与扭转应力 椭圆截面杆的扭转 椭圆截面翘曲 扭转级数解 狭长矩形的扭转应力 一、内容介绍 圆截面杆件的扭转问题通过平面假设可以解决。但是非圆截面柱体扭转时，由于构件轴线不再具有对称性质，因此平面假设不再成立。 本章讨论非圆截面柱体的扭转。首先从位移解法入手，讨论横截面的翘曲，建立柱体扭转的基本方程和边界条件；然后，讨论柱体扭转的应力解法；最后应用薄膜比拟探讨柱体扭转的切应力分布形式。 位移解法在柱体扭转中，由于横截面面力边界条件的表达形式导致求解困难，因此柱体扭转仍然是应用应力解法。通过扭转应力函数，求解椭圆截面和矩形柱体的扭转问题。 二重点 1扭转位移解法与翘曲函数；2扭转应力解法与扭转应力函数；3薄膜比拟法；4典型柱体扭转问题解。 学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。 首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数??(x，y)。 基本未知量翘曲函数??(x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。 位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。 自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。 对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。 端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T 。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。 学习要点： 1；2；3；4 1、扭转位移假设 当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。 如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z 轴建立坐标系。柱体扭转时发生变形，设坐标为 z 的横截面的扭转角为?，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角??????z 。 1、截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕 z 轴转动，当扭转角 ? 很小时，设OP=?，则P点的位移为 2横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角?成正比，而且各个截面的翘曲相同即w=???(x，y)。?(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者称为翘曲函数。对于位移法求解，需要将平衡微分方程用位移分量表示。因为 根据几何方程，应变分量为 根据本构方程，应力分量为 对于平衡微分方程，在不计体力的条件下，前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为 将 代入上式，则 上式为Laplace 方程，它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程，即Lamé方程时，则扭转翘曲函数??(x，y)为调和函数。 下面考察柱体自由扭转的边界条件。 对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。 由于?x=??y=??z=??xy =0?xz和?yz不等于零，因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。 柱体的侧边界没有外力作用，而且侧面边界法线方向余弦n=0 只有第三式需要满足，有 将翘曲函数表示的应力分量代入上式，并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系，n=0，则 有 因为 所以，柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。有 例如右端面，l=m=0，而n=1。 的第三式自然满足，而前两式成为 面力的合力为外力矩T，则端面面力边界条件为 对于上述边界条件的前两式，由于 同理 所以边界条件的前两式是恒满足的。对于第三式有 令 则T =??GD，其中D表达了横截面的几何特征，GD称为柱体的抗扭刚度。 总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件下求解 相对扭转角?由公式T =??GD确定。 学习思路:柱体自由扭转问题的位移解法，基本方程是翘曲函数表示的调和方程。基本方程的形式简单，但是边界条件的描述，特别是要用翘曲函数表达端面的合力边界条件比较困难。因此典型的扭转问题均是采用应力解法求解的。 自由扭转的应力解法，以扭转应力函数?(x,y)作为基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭转应力与应力函数的关系；将