第三章MATLAB数值计算研究报告.ppt

何时需采用数值计算？ 解析解不存在； 解析解存在，但非常复杂； 如：由Cramer法则，可将n元一次方程组化简为n个n-1元一次方程； n-1元一次方程组可化简为n-1个n-2元一次方程；…； 结论： n元一次方程组的解析解是可以求出的。但求解需进行方程(n-1)(n+1)!+n次基本运算。一个20元一次方程组需进行方程9.7073×1020次基本运算。 常见的问题：力学中的有限元法；差分方程及微分方程的数值解法；FFT方法等。 3.1 线性方程组 3.2 矩阵的非线性运算 3.3 数值积分 3.4 数值微分 3.5 常微分方程 3.6 MEX技术简介 矩阵的QR分解： QR分解也称为长方阵的正交分解，把长方阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的积。 格式：[Q,R]=qr(A) 矩阵的Cholesky分解： Cholesky分解把对称正定矩阵分解为上三角矩阵和其转置的积，即X=C’C，C为上三角阵。 格式：C=chol(A) A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]; k2=norm(A) k2_1=norm(A,2) k1=norm(A,1) k_inf=norm(A,inf) A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]; k2=cond(A) k2_1=cond(A,2) k1=cond(A,1) k_inf=cond(A,inf) 非齐次线性方程组的求解 对于非齐次线性方程组Ax=b而言，要根据系数矩阵A的秩和增广矩阵B=[A b]的秩和未知数个数n的关系，才能判断方程组Ax=b的解的情况； 1．如果系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=n，则方程组有唯一解； 2．如果系数矩阵的秩=增广矩阵的秩＜n，则方程组有无穷多解； 3．如果系数矩阵的秩＜增广矩阵的秩，则方程组无解。 对于非齐次线性方程组Ax=b而言，首先应判断方程组解的情况，其次，若有解，先求出方程组的特解，再次，求出对应齐次方程组的通解，最后，写出非齐次方程组的通解，即特解+对应齐次方程组的通解。 求Ax=b对应的齐次方程组Ax=0的通解，可以利用函数null或对系数矩阵A施行行变换； 求Ax=b的特解，方法较多，根据方程组中方程的个数m和未知数的个数n，可以把方程组Ax=b分为： 超定方程组（m＞n）； 恰定方程组（m=n）； 欠定方程组（m＜n）。 可以根据系数矩阵A的性质选用适当的计算方法，如可利用左除 “\” 、系数矩阵A的逆或伪逆、或利用lu分解、或cholesky分解等。 clear A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2 10 8]; B=[A b]; %增广矩阵 n=3; RA=rank(A) RB=rank(B) if (RA==RB RA==n) X=A\b else if (RA==RB RAn) C=A\b D=null(A,r) else fprintf(无解) end end 唯一解的情况： 代数方程组的Matlab一般解法： 格式： g=solve(eq) g=solve(eq,var) g=solve(eq1, eq2,…, var1, var2,…) 特点：适用于线性和非线性方程组 clear [x1,x2,x3]=solve(x1+2*x2+3*x3-1,2*x1+x2+2*x3-1,... x1+3*x2+4*x3-1) 例：非线性方程组 clear x=solve(2*x^2+3*x-1) %exact rational representation x1=vpa(x,16) %variable precision arithmetic 1.面向矩阵各元素的非线性运算 格式：B=函数名(A) 常用函数： abs()；sqrt () ；exp()；sin()；cos()；log()；log10()；real()；imag()；conj()；round()；--- 四舍五入 其它常用的取整： fix(x)----取整数部分 floor(x)----向下取整数部分 round(x) ---- 四舍五入 ceil(x)----向上取整数部分 例：x = -5/2 [fix(x) floor(x) round(x) ceil(x)] ans = -2 -3 -3 -2 A=[1 2 3 4 5 6 7 8 0]; B=exp(A) C=sin(A) D=log(A) E=round(