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第八章 线性分组码 8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？ 答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。 8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。 答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。n表示码长,k表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。 8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？ 答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的 个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。设k个向量为 　　 ?? ?? 　　 　　（7.3-2） 　　将它们写成矩阵形式： 　　 ?? ?? （7.3-3） 　（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。即 　 C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G 式中 M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。故称这个由k个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为 码的生成矩阵（Generator Matrix）。 校验矩阵H的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k个校验元，故须有r个独立的线性方程，因此H矩阵必由线性无关的r行组成，是一个(n-k)×n阶矩阵，一般形式为 一个（n,k）线性分组码生成矩阵有k行n列校验矩阵有(n-k)行n列。 8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？ 答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G，其左边k行k列是一个k阶单位方阵，系统码的校验矩阵H，其右边r行r列组成一个r阶单位方阵。 8.5 什么是对偶码？试举例说明之。 答：若把（n,k）码的H矩阵看成是(n,r)码的生成矩阵Gd,而（n,k）码的G矩阵就是（n,r），码的校验矩阵Hd,则称这两种码为互为对偶码。例如课本列举的（7，3）码 8.6 试述码的距离和重量的概念。线性分组码的最小距离有何实际意义？ 答：两个码字之间，对应位取值不同的个数，称为它们之间的汉明距离，简称距离用d(c1,c2)表示。码字中非零码元的个数，称为该码子的汉明重量，简称重量，用w(c)表示。一个线性分组码的最小距离是衡量码抗干扰能力的重要参数。码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。 8.7 如果要构造一个能纠2个错的线性分组码，则其H矩阵中至少应保证多少列线性无关？ 答：4列 根据定理8.2检测e个错，则要求码的最小距离d大于等于e+1 纠正t个错，则要求码的最小距离d大于等于2t+1 纠正t个错误同时检测e个错误，则要求d大于等于t+e+1 而根据定理8.3 （n,k）线性分组码有最小距离为d的重要条件是H矩阵中任意d-1列线性无关 所以是4列 8.8 什么是接收序列y的伴随式s？为什么伴随式s只由错误图样e决定？ 答：令 其中y为接收码字e为接收图样，称s为接收序列的伴随式。由式可知若e=0，则s=0;若 e≠0,则s≠0,因此伴随式s只由错误图样e决定。 8.9 如何构造一个码的标准阵列？标准阵列有哪些性质？ 答：先把子群中的全部个码字,,```,置于表的第一行，并把该子群的加法恒等元==0(即全零码字放在行的首位)在余下的-个n重中，选择一个n重作为第二行得首位元素，意识第二行的元素是和每个码字（i=1,2,```, ）相加，并把+置于的下面即同一列。第三行再从其余的n重 中选择一个作为首位元素，同理将+置于的下面完成第三行。以此类推，一直将n重用完为止。 如下表： 许用码字 = （陪集首） … 禁 用 码 字 … + + … + + + … + + + … + 标准阵列的性质有： 如果把陪集看成是错误图样，则每一个陪集中具有相同的错误图样。 每一个陪集中的个n重都有相同的伴随式而不同的陪集具有不同的伴随式。 对于同一列的各子集, ,… , 来说，其中个n重得错误图样虽然不同，但全部对应于同一许用码字。 8.10 如何利用标准阵列译码？为什么说用标准阵列译码时，译码错误概率的大小与陪集首的选择有关？ 答：当输入译码的接收序列为y时，经查表总能确定y落在标准阵列的第j行第i列，译码器就能判定发送码字是第i列（即子集）所对应的许用码字而粗我图样即第j行所在陪集的陪集首 用上述方法译码时