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章 标 题 　第五章 二次型 教学目标 计划课时 12学时 教学要求 1、 理解二次型、二次型的矩阵、线性替换和矩阵合同的概念，掌握二次型与对称矩阵的关系。 2、 掌握二次型为标准形的方法。 3、 理解二次型的秩、复（实）二次型的规范形、实二次型的正（负）惯性指数和符号差的概念，理解复（实）二次型的规范形的唯一性和实二次型的惯性定理。 4、 理解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握正定二次型和正定矩阵的性质。  教学重点 教学难点 1、 二次型的矩阵的定义和求法； 2、 二次型的秩、正（负）惯性指数和符号差的概念； 3、 化二次型为标准形和规范型的方法； 4、 正定二次型和正定矩阵的概念、判断和性质。 突破方法 讲授，讨论和习题相结合 所用基础 知识提示 详细内容及教学过程 思路、设问、要点、提示、注解 §1 二次型的矩阵表示 　　设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式 （1） 称为数域上的一个元二次型（简称二次型）。 　　例如是一个三元二次型；是一个四元二次型 注意：（1）中（）的系数写成，而不是简单地写成,其目的是更加方便地用我们已熟悉的矩阵来研究二次型。 　　和几何中一样，在处理许多其他问题时也常常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型，例如： 　　是一个三元二次型，如果令则该三元二次型就变成了 其中只含平方项，不含交叉项。为此，我们引入线性替换的概念。 定义1 设，是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 　　　　　　 （2） 称为由到的一个线性替换（简称线性替换）。 　　如果系数行列式，则称线性替换（2）是非退化的。 易知，若把（2）代入（1），那么就会得到关于的多项式仍然是二次齐次的。也就是说，线性替换把二次型变成二次型。 　　为了用我们已熟知的矩阵来研究二次型，下面我们就来给出二次型的矩阵表示，为此先令。由于，所以二次型（1）可以写成 （3） 　　把（3）的系数排成一个矩阵 称为二次型（1）的矩阵。 　　因为，，所以。这就是我们以前学过的对称矩阵。由此可见，二次型的矩阵都是对称矩阵。 　　这样我们就把二次型用矩阵表示出来了，并且二者之间是相互唯一决定的。 （注意：二次型（1）的矩阵的元素，时，正是交叉项系数的一半，而是平方项的系数。） 令 ，有 　　这说明二次型可以用矩阵的乘积表示出来。同样，线性替换（2）也可以用矩阵的乘积表示出来。令 ， 则线性替换（2）可以写成 或者 　　我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。现在就来看一下，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。 　　设， （5）是一个二次型，作非退化线性替换 　　　　　　　　　　 （6） 我们得到一个的二次型。现在来看与的关系。 把（6）代入（5），有 因为，所以也是对称矩阵。由此，有这就是前后两个矩阵的关系。 于是，我们引入合同的概念。 定义2 数域上矩阵与称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使 　　　　　　 。 　 合同是矩阵之间的一个等价关系。它满足 (1)反身性：； (2)对称性：由即得； (3)传递性：由和即得。 定理：二次型经非退化的线性替换 后得到一个新的二次型，其中。 　　 即新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。 注意：在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的（为什么？）。 练习： 1、 下列两式是不是二次型？ (1) （不是） （2） （不是） 2、 写出下列二次型的矩阵： （1） 　　　　（2） 　　　　（3） 　　　　（4） 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 §2 标 准 形 我们认为，二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型。本节的主要结果是 　　定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平凡和的形式，如： （1） 　　证明 对变量的个数用数学归纳法 　　首先证明时结论成立。 　　再假定对元的二次型，结论成立证明对元二次型结论也成立。此时分三种情况来讨论： 1） 中至少有一个不为零。 2） 所有，但